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期末不挂科
高等数学(上)
第2次开课
开课时间: 2025年03月03日 ~ 2025年07月07日
学时安排: 3-5小时每周
进行至第5周,共19周 已有 38 人参加
立即参加
课程详情
课程评价
spContent=课程适合范围是理工科或经管类大一新生、复习考研学生以及数学爱好者。 课程特点包括三个方面:一是精心录制了高等数学的全部课程内容,讲解详细、通俗易懂,视频界面呈现的是PPT格式,动画设计精美,讲解与动画同步,目的是让读者实现视听同步的效果。 二是每个视频的第一部分部分是课程内容讲解,第二部分是典型习题(包括部分考研试题)精讲和课后练习,使读者在学习课程内容的同时,还能额外学习到一些解题方法,并且配备课外习题供读者演练,目的是让读者达到学、思、练的效果。 三是视频不仅包含了高等数学的全部内容,而且对每个知识点的例题进行了扩充讲解,实现了全覆盖,弥补了传统高等数学版本例题少,且难学难懂的不足。主要参考教材是本人主编的高等数学微课版(清华大学出版社)。
课程适合范围是理工科或经管类大一新生、复习考研学生以及数学爱好者。 课程特点包括三个方面:一是精心录制了高等数学的全部课程内容,讲解详细、通俗易懂,视频界面呈现的是PPT格式,动画设计精美,讲解与动画同步,目的是让读者实现视听同步的效果。 二是每个视频的第一部分部分是课程内容讲解,第二部分是典型习题(包括部分考研试题)精讲和课后练习,使读者在学习课程内容的同时,还能额外学习到一些解题方法,并且配备课外习题供读者演练,目的是让读者达到学、思、练的效果。 三是视频不仅包含了高等数学的全部内容,而且对每个知识点的例题进行了扩充讲解,实现了全覆盖,弥补了传统高等数学版本例题少,且难学难懂的不足。主要参考教材是本人主编的高等数学微课版(清华大学出版社)。
—— 课程团队
课程概述

​高等数学是大学教育中理工科、经济学、管理学等众多专业的一门重要基础课程,也是深入学习后续专业课程的基石。它主要研究的是变量、函数、极限、微分、积分、级数、常微分方程、空间解析几何与向量代数、多元函数微积分学、以及无穷级数等内容,这些内容构成了现代数学的基础理论框架。


以下是对高等数学课程的一个简要介绍:

1. 极限与连续

    极限:研究函数在某一点或无穷远处的变化趋势,是微积分学的基础概念。

    连续:讨论函数在某一点或区间内是否连续,即函数值随自变量变化而连续变化不产生跳跃或间断。

2. 导数与微分

    导数:描述函数在某一点处的变化率,即函数图像的切线斜率,进一步可以讨论函数在某一区间的变化率问题。

    微分:研究函数局部变化的线性近似,是导数概念的进一步发展。

3. 一元函数积分学

    不定积分:求函数的原函数或反导数,与微分是在相差一个常数意义下的互逆运算。

    定积分:是一类特殊和式的极限,可以用于求解函数在某一区间上的累积效应,如面积、体积、物理量(如功、能)的计算。

    反常积分(含瑕积分、无穷积分):对不满足定积分条件的函数或区间的积分。

4. 常微分方程

   研究含有未知函数及其导数(或微分)的方程,广泛应用于物理、工程、生物等领域。

5. 空间解析几何与向量代数

   介绍向量、空间直线与平面、曲面与空间曲线等概念,为多元函数微积分学提供几何背景。

6. 多元函数微积分学

    偏导数全微分:研究多元函数关于某个变量的变化率。

    二重积分三重积分曲线积分曲面积分:解决多维空间中的面积、体积、质量分布等问题。

7. 级数理论

重积分及研究常数项级数或函数项级数的收敛性、和(函数)的计算以及级数的性质,是分析学的一个重要分支。

   


高等数学是高等学校的一门重要基础课程,更是理工科学生接受高等教育不可或缺的一部分。已获得公众认知的是:高等数学本身不仅仅是一门科学,更重要的是,通过分析、归纳、推理等各项数学素养的训练,能够使学生具备理性思维能力、逻辑推理能力以及综合判断能力。本课程在编排时特别注意了以下3个方面:

1. 在知识体系的编排上,突出基础的重要地位。对课程的内容进行了适当的优化和调整,减少课程内容的重复讲授。例如,在传统课程中,函数和数列极限是几乎被忽略的内容,在授课时也只是泛泛讲解,这对学生学习高等数学是非常不利的。为此,将函数和数列极限分别作为一章讲述;将定积分及定积分的应用合并成一章。

2. 在课程内容的编写上,注重知识点的使用方法和技巧。在给出重要的定义和定理时,对其进行必要的说明,指出了在使用定义和定理解决相关问题时的误区,列举了一些典型反例;对典型例题进行先分析提示,再引导求解,逐步使学生在学习“规则”时,能够正确理解并合理使用这些“规则”,做题时有理可依、有据可查。

3. 在例题习题的选配上,注重不同的层次和类别。将例题习题分为三个层次。第一层次注重的是定义和定理,使学生能够解决一些基本问题;第二层次注重的是数学的方法和技巧,培养学生的逻辑推理和计算能力;第三层次注重的是应用,用于提高学生的数学素质。

特别地,在课程的电子课件制作方面,注重动画演示过程的精准展现。 课程组经过多年的教学实践,设计了课件的框架和规范,进而研制了与教材内容相对应的电子课件。针对目前电子课件资源普遍存在的问题,课程组在知识构架、页面布局、内容衔接、动画演示等方面进行了整体设计。课件的主要内容包括各章节规则的引入及解析、典型例题详解、内容小结、思考与练习(用于相应部分课程内容学习的延伸与能力的提升)。研制的电子课件便于任课教师在备课时根据自身特点和授课对象进行必要的修改和增减。



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授课目标

学习高等数学后,个人会收获多方面的能力和知识,这些不仅对于学术研究和专业发展至关重要,

也对日常生活和思维方式产生深远影响。




以下是一些主要的收获:


逻辑思维与抽象思维能力:高等数学强调逻辑推理和抽象概念的理解,如极限、导数、积分、级数、微分方程等。通过解决这些问题,个人的逻辑思维和抽象思维能力得到显著提升,能够更好地处理复杂问题和抽象概念。


问题解决能力:高等数学提供了一系列强大的数学工具和方法,如优化理论、概率统计、数值分析等,

这些工具在解决实际问题时非常有用。学习高等数学后,个人能够运用这些工具和方法来分析和解决各种实际问题,提高问题解决能力。


跨学科应用能力:高等数学是许多学科领域的基础,如物理学、工程学、经济学、计算机科学等。掌握高等数学后,个人能够更容易地理解和应用这些学科中的数学原理和方法,促进跨学科的学习和研究。


精确性与严谨性:高等数学强调精确性和严谨性,要求每一步推理都必须有明确的依据和逻辑。这种训练有助于培养个人在思考和表达上的精确性和严谨性,减少模糊和歧义。


创新思维:高等数学中的许多概念和定理都是经过长期探索和创新得出的。学习高等数学可以激发个人的创新思维和创造力,鼓励个人在解决问题时尝试新的方法和思路。


数学美感:高等数学中蕴含着丰富的数学美感,如简洁的公式、优雅的定理、巧妙的证明等。通过学习高等数学,个人可以感受到数学的魅力和美感,培养对数学的兴趣和热爱。


职业竞争力:在许多职业领域,如金融、数据分析、科学研究等,掌握高等数学是必备的技能之一。学习高等数学可以提高个人的职业竞争力,为未来的职业发展打下坚实的基础。


总之,学习高等数学不仅能够提升个人的数学素养和思维能力,还能够为个人的学术研究和职业发展提供有力的支持。同时,高等数学中的许多概念和原理也具有广泛的应用价值,能够帮助个人更好地理解和应对现实世界中的各种问题。

课程大纲
函数
课时目标:在中学数学中,我们虽然已经学习了函数的概念以及一些简单的函数,但都是基于初等数学的范畴。在以微分学和积分学为核心的高等数学中,各类函数及其变化性态是主要的研究对象。本章的基本要求如下:1.理解函数的概念,会求函数的定义域、表达式及函数值.会求分段函数的定义域、函数值,并会作出简单的分段函数图像,掌握函数的表示方法。2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图像.会建立简单应用问题中的函数关系式。
1.1 基本概念
1.1.1 集合、区间、绝对值和邻域
1.1.2 函数的定义
1.1.3 具有某种特性的函数
1.1.4 函数的四则运算、复合函数和反函数
习题1.1
1.2 初等函数
1.2.1 基本初等函数
1.2.2 初等函数的定义及其范例
习题1.2
1.3 函数关系的几种表示方法
1.3.1 函数的分段表示
1.3.2 函数的隐式表示
1.3.3 函数的参数表示
习题1.3
复习题1
数列及其极限
课时目标:极限是研究函数变化趋势的基本工具,且极限理论是高等数学中最重要的理论基础之一。随后的诸多概念,如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分和无穷级数等,都是基于极限的思想建立起来的。然而在传统教材中,函数和数列极限是几乎被忽略的内容,只用很少的篇幅进行介绍,并且在授课时也只是泛泛讲解,这对学生学习高等数学是非常不利的。因为数列的极限是理解和掌握函数极限的基础,所以本课程中将数列及其极限单独作为一章进行学习。本章的基本要求如下:1.理解数列和收敛数列的概念。2.掌握收敛数列的性质,掌握极限的四则运算法则、夹逼准则和单调有界原理,掌握利用几个重要结论求极限的方法。
2.1 数列的极限
2.1.1 数列
2.1.2 收敛数列
2.1.3 数列和子数列之间的关系
2.1.4 数列中的无穷小量和无穷大量
2.1.5 数列极限的基本性质
习题 2.1
2.2 数列极限的运算法则
2.2.1四则运算法则
2.2.2 夹逼准则
2.2.3 单调有界定理和一个重要的极限
习题 2.2
复习题2
函数极限与连续
课时目标:对于一般函数而言,它们在其定义区间上是否有一定的变化规律,即自变量趋于无穷大或在某一点有微小变化时,对应的函数值的变化是平稳的、是剧烈的还是具有跳跃性的,这些典型问题都可以用函数的极限和连续进行解答。本章的基本要求如下:1.理解函数极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系。2.掌握函数极限的性质及四则运算法则。3.掌握函数极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法。4.理解无穷小量、无穷大量的概念,掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限。5.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。6.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界定理、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质完成一些基本的证明题。
3.1 函数的极限
3.1.1 函数极限的定义
3.1.2 无穷小量和无穷大量
习题3.1
3.2 函数极限的性质和运算法则
3.2.1 函数极限的基本性质
3.2.2 函数极限的运算法则
3.2.3 夹逼准则和两个重要的极限
习题 3.2
3.3 无穷小量的比较
3.3.1无穷小量的阶
3.3.2 等价无穷小的替换原理
习题 3.3
3.4 连续函数
3.4.1连续函数的定义
3.4.2 函数的间断点
习题 3.4
3.5 连续函数的运算和性质
3.5.1连续函数的运算
3.5.2 初等函数的连续性
3.5.3 闭区间上连续函数的性质
习题3.5
复习题 3
导数与微分
课时目标:为了全面了解函数的各种变化性态,还需要利用极限理论从局部和整体两个方面进行更深入的研究。例如,许多问题都需要研究函数变化趋势的快慢程度,即变化率问题;再如,当函数的自变量有微小变化时,对应的函数值的变化是多少,即变化前后的近似程度问题。这两个问题就是本章中将要学习的主要内容----函数的导数和微分,它们是微分学理论中两个重要的基本概念。本章的基本要求如下:1.理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的的关系。2.熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,熟练掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。3.了解高阶导数的概念,会求某些简单函数的 n 阶导数。4.会求分段函数的导数。5.会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数。
4.1 基本概念
4.1.1 两个典型问题
4.1.2 导数的定义
4.1.3 导数的几何解释
4.1.4 可导与连续的关系
习题4.1
4.2 导数的运算法则
4.2.1 导数的四则运算法则
4.2.2 反函数的导数
4.2.3 复合函数的导数
4.2.4 初等函数的导数
习题4.2
4.3 高阶导数
4.3.1 高阶导数的定义
4.3.2 高阶导数的运算法则
习题4.3
4.4 隐函数的导数
4.4.1 由一个方程确定的隐函数的导数
4.4.2 由参数方程确定的函数的导数
习题4.4
4.5 函数的微分
4.5.1 引例
4.5.2 微分的定义
4.5.3 微分的几何解释
4.5.4 微分的运算法则和公式
4.5.5 微分在近似计算中的应用
习题4.5
复习题 4
微分中值定理及导数的应用
课时目标:微分中值定理与导数的应用在高等数学课程中具有非常重要的地位。它们不仅是微积分理论的重要组成部分,也是解决实际问题的重要工具和方法。例如,微分中值定理是微积分理论中的一个重要部分,它揭示了函数在区间上整体性质与导数在区间上局部性质之间的内在联系,不仅连接了微分与积分,还连接了函数的局部性质与整体性质。学习微分中值定理可以更好地理解函数的单调性、凹凸性以及极值等性质,这些性质在解决实际问题时具有重要意义。本章的基本要求如下:1.理解罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理,会运用中值定理证明一些等式和不等式。2.掌握函数单调性的判别方法,会求函数的单调区间,会利用单调性证明一些不等式.。3.熟练掌握求函数极值的方法,会求函数在闭区间上的最大值和最小值,会解简单的最大值、最小值的应用题。4.会求曲线的凹凸区间和拐点,会求曲线的渐近线,能正确地做出某些函数的图形草图。5.了解泰勒公式、泰勒定理、麦克劳林公式及其拉格朗日型余项,能写出某些初等函数的麦克劳林展开式。6.熟练掌握洛必达法则,会求各类“未定型”的极限。
5.1 微分中值定理
5.1.1 罗尔定理
5.1.2 拉格朗日中值定理
5.1.3 柯西中值定理
习题 5.1
5.2 洛必达法则
5.2.1 无穷小比无穷小型未定式的极限
5.2.2 无穷大比无穷大型未定式的极限
5.2.3 其他未定式的极限
习题5.2
5.3 泰勒公式
5.3.1 泰勒定理
5.3.2 泰勒公式的应用
习题 5.3
5.4 函数的性态(Ⅰ)——单调性与凸性
5.4.1 函数的单调性
5.4.2 函数的凸性及其拐点
习题 5.4
5.5 函数的性态(Ⅱ)....极值与最值
5.5.1 函数的极值
5.5.2 最大值与最小值
5.5.3 应用举例
习题 5.5
5.6 函数图形的描绘
5.6.1 曲线的渐近线
5.6.2 函数的性态表与作图
习题 5.6
5.7 曲率
5.7.1弧微分
5.7.2 曲率及其计算公式
5.7.3 曲率圆与曲率半径
习题5.7
复习题 5
不定积分
课时目标:微分学的基本思想是从一个已知变化规律的函数出发,通过导数和微分的方法研究函数的各种性态。然而在实际应用中,常常会遇到与前面相反的一类问题,即需要由函数的导数来确定函数的本身。这种求一个函数使其导数恰好等于已知函数的运算称为“积分”运算,这是积分学的基本问题之一。本章的基本要求如下:1.理解原函数与不定积分的概念。2.会灵活运用不定积分的性质及基本积分公式求不定积分。3.会灵活运用第一类换元积分法求不定积分,会用第二类换元积分法来求被积函数含有根式的不定积分。4.会灵活运用分部积分法求不定积分。5.会计算简单有理函数的不定积分。
6.1 基本概念及性质
6.1.1 原函数
6.1.2 不定积分的定义
6.1.3 不定积分的几何解释
6.1.4 基本积分公式
6.1.5 不定积分的性质
习题6.1
6.2 换元积分法
6.2.1 第一类换元积分法
6.2.2 第二类换元积分法
习题6.2
6.3 分部积分法
习题6.3
6.4 有理函数的积分及其应用
6.4.1 有理函数的积分
6.4.2 简单的无理函数的积分
6.4.3 三角函数有理式的积分
习题 6.4
复习题6
定积分及其应用
课时目标:定积分及其应用在高等数学课程中占有极其重要的地位,是后续高等数学课程(如多元函数微积分、常微分方程、复变函数等)的重要基础,也是连接数学与其他学科的重要桥梁,为跨学科学习和研究提供了有力支持。本章的基本要求如下:1.理解定积分的概念和基本性质,牢固掌握定积分概念,理解定积分是一种和式极限,对定积分解决问题的思想有初步体会。2.理解变上限定积分定义的函数及其求导定理,掌握牛顿-莱布尼茨公式.通过学习,使学生更深入理解定积分和不定积分,微分和积分间的联系。3.掌握定积分的换元法与分部积分法。4.了解广义积分的概念并会计算广义积分。5.了解定积分的近似计算法。6.理解定积分的来源,几何及物理意义,为以后学习其他专业课程打下基础掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等)。
7.1 定积分的概念
7.1.1 引例
7.1.2 定积分的定义
7.1.3 定积分的几何解释
习题7.1
7.2 定积分的存在条件及其性质
7.2.1 定积分的存在条件
7.2.2 定积分的性质
习题7.2
7.3 微积分基本公式
7.3.1 积分上限的函数及其导数
7.3.2 牛顿—莱布尼茨公式
习题7.3
7.4 换元积分法和分部积分法
7.4.1 定积分的换元法
7.4.2 定积分的分部积分法
习题 7.4
7.5 反常积分
7.5.1 无穷区间上的反常积分
7.5.2 无界函数的反常积分
习题 7.5
7.6 定积分的应用(I)----几何应用
7.6.1 定积分的微元法
7.6.2 平面图形的面积
7.6.3 旋转体的体积
7.6.4 平行截面面积为已知的立体的体积
7.6.5 平面曲线的弧长
习题 7.6
7.7 定积分的应用(II)----物理应用
7.7.1 质量和质心
7.7.2 外力做功
7.7.3 液体压力
7.7.4 引力
习题7.7
复习题7
常微分方程
课时目标:在描述一些相对复杂的变化规律时,很难直接建立问题的函数关系,通常需要先建立自变量、未知函数及其导数或微分组成的关系式,这样的关系式便是微分方程,进而通过求解微分方程得到待求量的函数关系。可以说,微分方程是运用数学理论,特别是微积分去解决现实问题的一个重要工具,它在几何学、力学、天文学、物理学、生物学、社会学等众多领域都有广泛的应用。本章的基本要求如下:1.理解微分方程的阶、解、通解、初值条件和特解等概念。2.会求解可分离变量方程,齐次方程。3.会求解一阶线性齐次、非齐次方程。4.会求解可降阶的二阶微分方程。5.掌握二阶常系数齐次线性方程的解法。6.会用待定系数法求解两种二阶常系数非齐次线性方程。7.会用微分方程解决一些简单的几何和物理应用问题。
8.1 微分方程的基本概念
8.1.1 引例
8.1.2 基本概念
习题8.1
8.2 常微分方程的初等积分法(I)
8.2.1 分离变量方程
8.2.2 一阶线性微分方程
8.2.3 伯努利方程
习题8.2
8.3 常微分方程的初等积分法(II)
8.3.1 齐次方程
8.3.2 可降阶的二阶微分方程
8.3.3 其它类型的常微分方程
习题8.3
8.4 高阶线性微分方程
8.4.1 二阶线性微分方程解的性质
8.4.2 二阶线性微分方程的通解
习题 8.4
8.5 高阶常系数线性微分方程
8.5.1 高阶常系数齐次线性微分方程的解法
8.5.2 高阶常系数非齐次线性微分方程的解法
8.5.3 欧拉方程
习题 8.5
8.6 微分方程的应用举例
复习题8
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预备知识

初等数学的相关内容

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为积极响应国家低碳环保政策, 2021年秋季学期开始,中国大学MOOC平台将取消纸质版的认证证书,仅提供电子版的认证证书服务,证书申请方式和流程不变。

 

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完成课程教学内容学习和考核,成绩达到课程考核标准的学生(每门课程的考核标准不同,详见课程内的评分标准),具备申请认证证书资格,可在证书申请开放期间(以申请页面显示的时间为准),完成在线付费申请。

 

认证证书申请注意事项:

1. 根据国家相关法律法规要求,认证证书申请时要求进行实名认证,请保证所提交的实名认证信息真实完整有效。

2. 完成实名认证并支付后,系统将自动生成并发送电子版认证证书。电子版认证证书生成后不支持退费。


参考资料

袁学刚、张文正主编,高等数学(微课版)上下册,清华大学出版社,2021;

袁学刚、张友主编,高等数学学习指导(上下册),清华大学出版社,2018。

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