spContent=本课程为南京大学“百”层次优质课程，2021年入选江苏省首批一流本科课程，2023年入选国家第二批一流本科课程。我们精心提炼了数学分析中一元微积分的精华内容，讲述一元函数的微分学、积分学以及微积分基本公式。本课程以问题为驱动，直指微积分的核心和本质，强调分析学的基本方法，提供丰富的实例和应用。配套教材为梅加强编著的《数学分析》第二版（高等教育出版社，2020.6）。
本课程为南京大学“百”层次优质课程，2021年入选江苏省首批一流本科课程，2023年入选国家第二批一流本科课程。我们精心提炼了数学分析中一元微积分的精华内容，讲述一元函数的微分学、积分学以及微积分基本公式。本课程以问题为驱动，直指微积分的核心和本质，强调分析学的基本方法，提供丰富的实例和应用。配套教材为梅加强编著的《数学分析》第二版（高等教育出版社，2020.6）。
—— 课程团队
课程概述
数学分析是以微积分为核心，介绍分析学基本思想的基础课程，一般分三个学期开设。《数学分析（一）：一元微积分》主要讲授一元微积分，介绍分析学中定性估计和定量估计的基本方法。
主要内容包括七章：第一章从求和问题出发介绍求和（求面积）与求差之间可以互相转化这一基本思想，引出分析和估计（不等式）之间的关联；第二章从问题出发引出数列极限的概念和基本性质；第三章介绍函数的极限和连续函数的整体性质，以及连续函数的积分；第四章引进导数的概念和基本性质，证明微积分基本公式；第五章介绍一元微分学的应用，包括Taylor公式等；第六章介绍黎曼积分和广义积分，以及积分的几何应用等；第七章总结分析学的基本方法。
本课程的目标是以问题为导向展现微积分的内涵和分析学的基本思想，目标群体是具有中学数学基础、有意学习微积分/数学分析的初学者，或已经学过一些微积分课程，欲进一步掌握微积分内涵的人。通过本课程的学习，学习者能掌握一元微积分中微分和积分这一对矛盾之间的转化规律，以及做定性估计和定量估计的基本手法，体会分析学的思想，并能应用于实际问题。
授课目标
本课程的目标是以问题为导向展现一元微积分的内涵和分析学的基本思想方法。
课程大纲
绪论
课时目标：从求和问题出发引出求和与求差这一对矛盾，使学生熟悉裂项相消的技巧；掌握三角不等式、Bernoulli 不等式等常用不等式。
数列极限
课时目标：让学生掌握数列极限的定义；了解确界原理，掌握用单调性和 Cauchy 准则判断数列是否收敛。
2.1 数列极限的定义和例子
2.2 数列极限的基本性质
2.3 单调数列的极限
2.4 数列极限的 Cauchy 准则
测验2
连续函数
课时目标：让学生掌握函数极限的定义以及重要的几种函数极限；熟悉无穷大量、无穷小量和等价代换；掌握连续函数的最值定理、介值定理和一致连续性；熟悉连续函数积分的定义；
3.1 函数极限及其基本性质
3.2 无穷大量和无穷小量
3.3 连续函数
3.4 连续函数的整体性质
3.5 连续函数的积分
3.6 积分计算实例
3.7 积分的简单应用
测验3
微积分基本公式
课时目标：让学生掌握导数和微分的定义；掌握 Newton-Leibniz 公式；熟悉分部积分公式和变量替换公式；了解简单的微分方程及其背景模型。
4.1 导数和高阶导数
4.2 微分和全微分
4.3 导数和极值、均值
4.4 微积分基本公式
4.5 计算积分的方法
4.5.1 分部积分
4.5.2 换元积分法
4.5.3 有理积分
4.5.4 无理积分
4.6 简单的微分方程
测验4
微分学的应用
课时目标：让学生掌握 Fermat 定理以及求极值、最值的方法；熟悉凸函数和 Jensen 不等式；掌握用洛必达法则求函数极限的技巧；熟悉常见函数的 Taylor 公式。
5.1 极值和最值
5.2 折射定律和彩虹
5.3 凸函数
5.4 凸函数进阶
5.5 洛必达法则
5.6 Taylor 公式
5.7 常见函数的 Taylor 展开
5.8 圆周率和自然常数
5.9 Taylor 展开和近似计算
测验5
积分的推广和应用
课时目标：让学生掌握黎曼积分的定义；熟悉 Darboux 和及其基本性质；掌握广义积分的定义和收敛判别法；熟悉曲线长度、曲面面积、简单立体图形体积的计算方法。
6.1 Riemann 积分
6.2 可积的充要条件
6.3 Riemann 积分的基本性质
6.4 分部积分之二和第二中值公式
6.5 积分的推广
6.6 广义积分的收敛判别法
6.7 常见的广义积分
6.8 曲线的长度和微元法
6.9 曲面的面积
6.10 等周不等式
6.11 简单立体图形的体积
测验6
拾遗
课时目标：让学生掌握闭区间套原理、有限覆盖定理；熟悉零测集和 Lebesgue 定理；理解上极限和下极限的定义；了解 Lagrange 插值公式以及误差估计；体会分析中的连续性方法。
7.1 闭区间套原理
7.2 有限覆盖定理
7.3 Lebesgue 定理
7.4 上极限和下极限
7.5 Stolz 公式
7.6 微分中值公式与插值公式
7.7 连续性方法举例
测验7
展开全部
预备知识
高中毕业所具备的数学知识，具有初步的逻辑思维能力。
参考资料
1、《数学分析》第二版，梅加强，高等教育出版社，2020
这是本课程主要参考书。
2、《微积分学教程》，菲赫金哥尔茨，高等教育出版社，2006
俄罗斯经典著作，是一本微积分大全，有丰富的例子。
常见问题
Q : 听不明白怎么办？
A : 听课中间可以随时暂停，反复琢磨；还有不懂的地方可以在讨论区中提出来。
Q : 除了听课看视频，需要看教材吗？
A : 需要根据课程进度仔细阅读教材。教材上例子比较多一点，有助于读者掌握定理中的方法。
Q : 学习数学分析需要记住定理的结论吗？
A : 在理解定理的前提下，不仅要记住定理的结论，还要记住它的适用范围，能灵活运用它。
Q : 数学分析中，到底哪些结论需要证明，哪些可以直接用呢？
A : 公理、公设，已经证明过的命题、定理等可以直接用，其它的结论不能想当然地用。
认证成绩和证书
智能问答和解析
视频学习辅助
浙公网安备 33010802012594号
