spContent=本课程先后作为本科生“应用分析”（Applied Analysis）和研究生“高等数理方程”，自1998 年以来在北京大学力学系和工学院开设九次，2010年入选教育部双语教学示范课程，并已形成教材（2016年北京大学出版社）。
本课程先后作为本科生“应用分析”（Applied Analysis）和研究生“高等数理方程”，自1998 年以来在北京大学力学系和工学院开设九次，2010年入选教育部双语教学示范课程，并已形成教材（2016年北京大学出版社）。
—— 课程团队
课程概述
我们的基本出发点是：目前的本科生教学中虽然有大量数学课程，但基本上只讨论线性问题，学生一般只学线性常微分、偏微分方程；另一方面，现代物理/力学/工程科学的基本控制方程往往都是非线性微分方程（组），在进入研究生阶段后，导师一般假设学生的数学知识已足够应付相关模型；此外，本科阶段物理/力学/工程应用中已经涉及到大量非线性现象，这是学生所具备的数学知识不足以深入理解的。因此，目前的本科教育在知识结构上存在一个缺口，本课程旨在（主要以力学中出现的微分方程为例）提供一些非数学专业可以接受和掌握的处理非线性问题的数学方法，打通数学分析与物理机理，填补上述缺口。
我们将主要介绍非线性问题的一些基本数学分析方法和理论，具体包括三部分：常微分方程定性理论（包括不动点理论、混沌的简介）;反应扩散方程（包括摄动法简介）;椭圆型方程;双曲型守恒率和孤立子。
本课程希望比较完整自洽、但又不拘泥于数学细节和证明，给予对应用数学有需求的高年级本科生和研究生了解掌握相关知识和手段的指导。采用全英文教学，对于适应国际化教育应有裨益。
授课目标
本课程旨在（主要以力学中出现的微分方程为例）提供一些非数学专业可以接受和掌握的处理非线性问题的数学方法，打通数学分析与物理机理。
课程大纲
Introduction to the course, ODE(I)
1.1 Contents of Applied Analysis；Basic notions of ODE: order, autonomous system, solution
1.2 A geometrical view: trajectory/orbit, vector field
1.3 Regular point and critical point
1.4 Linear space: algebraic structure
1.5 Normed space: geometrical structure
1.6 Examples: L∞, L2 norms of C[0, 1]
ODE(II)
2.1 Banach space: limit, Cauchy sequence,
2.2 Completeness
2.3 Completeness of C[0, 1] under L∞-norm
2.4 Incompleteness of C[0, 1] under L2-norm
2.5 Function space view: Piccard iteration - a motivating example
2.6 Fixed point theorem
2.7 Local existence of ODE solution
ODE(III)
3.1 Critical point (A)
3.2 Critical point (B)
3.3 Critical point: (C)
3.4 Plane analysis: Duffing equation (A)
3.5 Plane analysis: Duffing equation (B)
ODE(IV)
4.1 Homoclinic orbit by example
4.2 Limit cycle by example
4.3 Poincare-Bendixon theorem, van der Pol equation
4.4 Stability, Lyapunov function
ODE(V)
5.1 Saddle-node bifurcation
5.2 Transcritical bifurcation, supercritical bifurcation and Hopf bifurcation
5.3 Lorenz equations derived by mode truncation, bifurcation for critical points
5.4 Lorenz equations: numerical studies, Lyapunov function and chaos
5.5 Logistic map: bifurcation and chaos
5.6 Logistic map: chaos as observed under a transform
Reaction-diffusion systems (I)
6.1 Basic notions in PDE, Hadamard’s example
6.2 Conservation laws, boundary conditions and initial conditions
6.3 Dispersion relation for linear equation, and linearization for nonlinear equation
6.4 Dispersion relation revisited
6.5 Nonlinear stability (blow-up)
Reaction-diffusion systems (II)
7.1 Solution to heat equation by Fourier transform
7.2 Cole-Hopf transform for Burgers’ equation
Reaction-diffusion systems (III)
8.1 Traveling wave (A)
8.2 Traveling wave (B)
8.3 Traveling wave (C)
8.4 Super- and sub-solutions
8.5 Invariant domain
Reaction-diffusion systems (IV)
9.1 Perturbation method (A)
9.2 Perturbation method (B)
9.3 Perturbation methods (C)
9.4 Perturbation methods (D)
Waves (I)
10.1 Linear advection equation
10.2 Hyperbolicity: nonlinear examples
10.3 Hyperbolicity for system of equations
10.4 Inviscid Burgers’ equation: discontinuity
Waves (II)
11.1 Inviscid Burgers’ equation: rarefaction wave
11.2 Inviscid Burgers’ equation: shock wave (A)
11.3 Inviscid Burgers’ equation: shock wave (B)
11.4 Wave interaction in inviscid Burgers’ equation (A)
11.5 Wave interaction in inviscid Burgers’ equation (B)
Waves (III)
12.1 Euler equations under Lagrange coordinate system
12.2 Riemann variables, rarefaction wave as a special solution
12.3 Riemann problem: motivations
12.4 Rarefaction wave (I)
12.5 Rarefaction wave (II)
Waves (IV)
13.1 Shock wave (A)
13.2 Shock wave (B)
13.3 Shock wave (C)
13.4 Review of elementary waves
13.5 Riemann problem: an example
Waves (V)
14.1 History of soliton
14.2 KdV equation: soliton solution
14.3 Scattering in Schr¨odinger equation (A)
14.4 Scattering in Schr¨odinger equation (B)
14.5 Inverse scattering transform: a brief
14.6 Infinite many conservation laws by Gardner’s transform
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预备知识
学生需完整学习过微积分（数学分析或高等数学）、线性代数、常微分方程；最好学习过数学物理方程（拉普拉斯方程、热方程、波方程）。
证书要求
为积极响应国家低碳环保政策， 2021年秋季学期开始，中国大学MOOC平台将取消纸质版的认证证书，仅提供电子版的认证证书服务，证书申请方式和流程不变。
电子版认证证书支持查询验证，可通过扫描证书上的二维码进行有效性查询，或者访问 https://www.icourse163.org/verify，通过证书编号进行查询。学生可在“个人中心-证书-查看证书”页面自行下载、打印电子版认证证书。
完成课程教学内容学习和考核，成绩达到课程考核标准的学生（每门课程的考核标准不同，详见课程内的评分标准），具备申请认证证书资格，可在证书申请开放期间（以申请页面显示的时间为准），完成在线付费申请。
认证证书申请注意事项：
1. 根据国家相关法律法规要求，认证证书申请时要求进行实名认证，请保证所提交的实名认证信息真实完整有效。
2. 完成实名认证并支付后，系统将自动生成并发送电子版认证证书。电子版认证证书生成后不支持退费。
参考资料
Shaoqiang Tang, Applied Analysis for Engineering Sciences, Peking University Press, 2016.
浙公网安备 33010802012594号
