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智慧课程 认证学习
线性代数及其应用
第15次开课
开课时间: 2025年03月10日 ~ 2025年06月30日
学时安排: 5小时每周
进行至第4周,共17周 已有 931 人参加
立即参加
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课程图谱
课程评价(39)
spContent=线性代数将几何观点与代数思想相结合,它通过抽象把一些具有共性的问题化归为一类问题,以通性求通解。它将理论、应用和计算完美地融合,应用广泛而重要。本课程与知识图谱、AI助教和AI助学等智能要素相融合,可以借助人工智能,帮助师生提供智能化教学和学习辅助,让我们能一起更快更好地揭开线性代数的抽象面纱,领略线性代数的强大应用魅力!
线性代数将几何观点与代数思想相结合,它通过抽象把一些具有共性的问题化归为一类问题,以通性求通解。它将理论、应用和计算完美地融合,应用广泛而重要。本课程与知识图谱、AI助教和AI助学等智能要素相融合,可以借助人工智能,帮助师生提供智能化教学和学习辅助,让我们能一起更快更好地揭开线性代数的抽象面纱,领略线性代数的强大应用魅力!
—— 课程团队
课程概述

本课程根据新工科建设对工科非数学专业学生的代数基础提出的新的要求和挑战,结合校内课程改革的实践经验,对讲授内容和顺序进行了重置,重新演绎线性代数课程,将数学专业要求与新工科线性代数教学内容的深度改革进行了很好融合。旨在引导非数学专业的理工科学生从高观点和视角认识和掌握线性代数所研究内容的核心思想和精髓,建立创新思维和面向未来的数理基础。在课程设计和建设方面具有以下几个特色:

1、本课程是天津大学的国家级一流课程(混合式)“线性代数及其应用”所主要依托的线上课程,教学团队由天津大学数学学院院长,国家杰出青年基金获得者,国务院政府特殊津贴专家孙笑涛教授领衔,主讲教师由获得天津市或天津大学教学基本功竞赛一等奖获得者担纲,具有很好的科研背景和教学基础。

2、知识讲解中蕴含了数学文化素养和线性代数应用思想的渗透,对线性方程组、行列式、逆矩阵,线性变换,特征值等重要问题增加了应用方面的特别介绍,使学生可以理论与应用相结合,既加深了对理论的理解,也可以体会到线性代数与其他一些学科的交叉以及在工程和生活中的强大应用背景。

3、充分重视学习者的学习感受,在严格追求知识的科学性和严谨性的同时,更关注讲解方式的通俗易懂性以及趣味性,力求有效地降低学习中的枯燥感和抽象性。

4、充分结合天津大学在新工科建设以及多年来在线性代数教学改革中的好经验,高观点,低起点,在一般数域上探讨问题,在实数域上强化训练,为学习者进一步学习更高层次的代数知识搭好桥梁,也为当前需要提供助力。在知识结构编排和引入顺序等方面做了很多创新,开篇先引入n元向量、矩阵及其初等变换和线性方程组,使学生首先掌握贯穿线性代数学习过程的最重要的工具,建立起应用它们研究和解决问题的意识和准备,在后续的学习中事半功倍。后续逐步展开的课程内容中,既包含线性代数的一些传统经典理论教学内容的梳理,更对矩阵运算技巧、矩阵方程,逆矩阵、方程组等重要内容做了专题强化,使学习者理论水平和计算技巧两方面都得到收获。

5、线性代数是理工科非数学专业必修公共基础课,平时正常的线下课程,天津大学是56学时,许多工科院校是48学时,教学要求不尽相同。本课程的内容编排顺序和设置适合从32-56 诸多学时要求的学习,适应性比较广,48学时可以不学第6.5节以及一些应用案例讲解,32学时可以不学习第五章和第6.5节以及一些应用案例讲解,不影响课程的体系和完整性。无论是线性代数课程的初学者,还是考研备考,或者只想部分知识点强化学习,相信都会在课程中选择到合适的内容。

    目前课程内容共分为八章,分为基础课程和升阶课程。第一章到第七章为基础课程,主要内容为:第一章 矩阵的初等变换与线性方程组;第二章 行列式;第三章:矩阵;第四章 n元向量空间;第五章 线性空间;第六章 特征值与特征向量、线性变换;第七章 二次型,这些内容按计划学习进度分12周发布。第八章仅作为课程拓展内容,不设置测试内容,不计入课程成绩。 作为新工科建设代数基础课程教学内容深度改革的探索和实践,我们推出了第八章专题内容,由孙笑涛教授主讲,阐述了线性代数学习的主要任务,从线性变换的表示方阵、不变子空间,讲到酉空间、欧氏空间中的正规变换的标准形,全程板书,不用ppt等辅助,高屋建瓴,按知识的内在关系脉络,将数学思维和数学思想循序阐述。 力求帮助学有余力的同学提高课业的深度和广度,打通从工科线性代数到数学专业线性代数的关键通道。

  线性代数是理工科大学生的一门重要基础课,它将理论、应用和计算完美地融合起来,是在自然科学和工程技术各个领域中广泛应用的数学工具。随着计算机的普遍使用以及计算机功能的不断增加,线性代数在实际应用中的重要性也在不断提高,特别是新工科建设的提出,更是对线性代数的教学内容从深度和广度上提出了更高的要求。愿我们倾力打造的课程能让这门传统老课焕发新的强大影响力,助力国家新工科发展战略!

  

授课目标

课程目标1:传授线性代数的基础和核心知识,为后继课程做准备;

课程目标2:引导学生学习和建立一些代数思想和方法,培养创新思维;

课程目标3:培养学生的熟练运算能力; 逻辑推理能力; 抽象思维能力;

课程目标4:培养学生从应用中感悟综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力.

课程目标5:使学生具备一定的面向未来的数理基础和创新能力.

课程大纲
矩阵及其初等变换;线性方程组
课时目标:1.了解数域的概念,理解n元向量的概念及其表示,掌握向量的线性运算;2.理解矩阵的概念,了解几种特殊矩阵(单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵,零矩阵,行、列矩 阵);掌握矩阵的转置运算;3. 掌握矩阵的三类初等变换,会熟练使用矩阵的初等变换;4. 掌握求解线性方程组解的矩阵消元法和有解判定定理。
1.1 数域及n元向量
1.2.1 矩阵的定义及特殊矩阵
1.2.2 矩阵的初等变换
1.3.1 矩阵消元法
1.3.2 线性方程组有解判别定理(1)
1.3.3 线性方程组有解判别定理(2)
第一章 预备知识同步更新
课时目标:集合和映射是现代数学的基本语言和重要工具,带有运算的集合,也就是代数系统,是代数研究的主要内容之一,掌握和运用好映射这个工具,将会在很多代数问题的解决中,事半功倍。预备知识部分起到承前启后的作用,将集合和映射的内容进行复习和提升。
1.1 集合与映射
1.1.1 集合的概念和运算
1.1.2 映射
1.13 带有运算的集合
行列式
课时目标:1. 了解行列式的概念,理解行列式的子式、余子式及代数余子式的概念;2.掌握行列式的性质,按行、列展开定理,会用三角化、降阶等典型方法计算行列式。
2.1排列与逆序数
2.2行列式的定义
2.3.1行列式的性质(一)
2.3.2行列式的性质(二)
2.4行列式的展开
2.5.1行列式的计算(一)
2.5.2行列式的计算(二)
克拉默法则;矩阵的运算
课时目标:1. 掌握Gramer法则;2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、多项式以及它们的运算规律和运算关系;3. 了解对称阵、反对称阵的概念及其性质,了解方阵的迹和行列式及其运算性质。
2.6 克拉默法则
3.1.1 矩阵的运算(一)(1)
3.1.2 矩阵的运算(一)(2)
3.1.3 矩阵的运算(二)(1)
3.1.4 矩阵的运算(二)(2)
3.1.5 矩阵的运算(三)(1)
3.1.6 矩阵的运算(三)(2)
3.1.7 矩阵的运算(三)(3)
初等矩阵;可逆矩阵及矩阵方程
课时目标:1. 了解初等矩阵的概念,掌握初等矩阵的性质,理解初等矩阵与初等变换的关系;2.理解逆矩阵的概念,掌握逆矩阵的性质和计算方法,掌握判定矩阵可逆的充要和充分条件;3. 理 解伴随矩阵的概念,掌握伴随矩阵的性质。4. 会求解典型的矩阵方程.
3.2 初等矩阵
3.3.1 可逆矩阵的定义及判定条件(1)
3.3.2 可逆矩阵的定义及判定条件(2)
3.3.3 逆矩阵的运算性质及计算(1)初等矩阵;可逆矩阵及矩阵方程
3.3.4 逆矩阵的运算性质及计算(2)
3.3.5 逆矩阵的应用及简单矩阵方程(1)
3.3.6 逆矩阵的应用及简单矩阵方程(2)
分块矩阵;分块乘法技巧的应用;矩阵的秩;矩阵的相抵
课时目标:1.了解分块矩阵,掌握分块阵的线性运算、乘法和转置运算,会运用分块乘法技巧。掌握准对角矩 阵的运算。2.理解矩阵相抵(等价)、矩阵的秩的概念,会用初等变换法求矩阵的秩,了解满秩矩阵的性质, 了解判定矩阵相抵的充要条件,掌握矩阵秩的运算性质。
3.4.1 分块矩阵(1)
3.4.2 分块矩阵(2)
3.4.3 分块乘法技巧的应用(1)
3.4.4 分块乘法技巧的应用(2)
3.5.1 矩阵的秩(1)
3.5.2 矩阵的秩(2)
3.5.3 矩阵的相抵(1)
3.5.4 矩阵的相抵(2)
n元向量组的线性相关性;向量组的秩;n元向量空间
课时目标:1.理解 n 元向量的概念; 2.理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论; 3.了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩; 4.了解向量组等价的概念,了解向量组的秩与矩阵秩的关系; 5.了解 n 元向量空间及其子空间、子空间的基和维数等概念。
4.1.1 n元向量组的线性相关性(1)
4.1.2 n元向量组的线性相关性(2)
4.2.1 向量组的秩(1)
4.2.2 向量组的秩(2)
4.3 n元向量空间
线性方程组解的结构;欧氏空间 ;正交矩阵
课时目标:1.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件;2.理解齐次线性方程组的基础解系、通解结构及解空间的概念,理解非齐次线性方程组的通解结 构;3.了解向量内积的概念及性质,掌握线性无关向量组标准正交化的方法;4.了解标准正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。
4.4.1线性方程组解的结构(1)
4.4.2 线性方程组解的结构(2)
4.5.1 欧氏空间 R^n(1)
4.5.2 欧氏空间 R^n(2)
4.6 正交矩阵
线性空间的定义和性质;有限维线性空间
课时目标:1. 了解线性空间、线性子空间、基、维数、坐标等概念,会判定子空间,求子空间的基和维数;2、理解n 维线性空间与n元向量空间的同构关系,会用坐标化方法解决一些典型问题;3.掌握基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵,掌握过渡矩阵的性质和计算,会利用坐标变换公式和坐标的定义计算坐标。
5.1 线性空间的定义和性质
5.2 基、维数与坐标;同构
5.3 基变换与坐标变换
特征值与特征向量的概念、性质和计算;方阵的相似
课时目标:1. 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量; 2.了解相似矩阵的概念,掌握相似关系的性质。
6.1 特征值与特征向量的概念
6.2 特征值与特征向量的计算
6.3.1 特征值与特征向量的性质(1)
6.3.2 特征值与特征向量的性质(2)
6.4 方阵相似的概念和性质
矩阵的相似对角化、实对称矩阵的对角化
课时目标:1. 掌握矩阵可相似对角化的条件和计算;2.了解实对称矩阵的性质,掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。
6.5.1 方阵的相似对角化(1)
6.5.2 方阵的相似对角化(2)
6.6.1 实对称矩阵的对角化(1)
6.6.2 实对称矩阵的对角化(2)
线性变换的概念和性质;线性变换的矩阵;二次型及其标准形
课时目标:1. 掌握线性变换的定义,线性变换矩阵的概念,理解线性变换在不同基下的矩阵之间的关系并会计算该矩阵;2. 了解二次型的定义及其矩阵表示,了解二次型秩、标准形的概念。
6.7 线性变换的概念和性质
6.8.1 线性变换的矩阵(1)
6.8.2 线性变换的矩阵(2)
7.1.1 二次型及标准形(1)
7.1.2 二次型及标准形(2)
化二次型为标准形、惯性定理、正定性
课时目标:1.掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,了解用配方法化二次型为标准形的方法; 2. 了解规范形,惯性定理、正、负惯性指数等概念,了解合同变换的概念; 3. 掌握判断实二次型等价和实对称矩阵合同的条件; 4. 掌握二次型和对应矩阵的正定性及其判别法。
7.2 化二次型为标准形
7.3 规范形与惯性定理
7.4 正定二次型与正定矩阵
有限维线性空间上的线性算子
课时目标:本章是新工科建设背景下代数基础课程教学内容深度改革的探索和实践,阐述了线性代数学习的主要任务,介绍了线性变换的不变子空间、由非零向量生成的循环子空间、对偶变换(线性空间的对偶空间的线性变换)、最小多项式、不变子空间直和分解、标准形(有理标准形、约当标准形),线性空间的子空间在对偶空间中的正交补,欧氏空间的线性变换及其共轭变换等,本章以不受条条框框的限制的学术境界,用环论等重新演绎线性代数课程,有自身独到见解和讲解,将数学专业要求与工科线性代数教学内容的深度改革进行了很好融合。
8.1 问题概述
8.2 循环子空间
8.3 多项式的唯一分解
8.4.1 极小多项式(1)
8.4.2 极小多项式(2)
8.4.3 极小多项式(3)
8.5.1 空间的不变子空间直和分解(1)
8.5.2 空间的不变子空间直和分解(2)
8.5.3 不可分解空间
8.6 内积空间上的正规算子
8.7.1 正规算子的矩阵表示(1)
8.7.2 正规算子的矩阵表示(2)
8.7.3 正规算子的矩阵表示(3)
展开全部
预备知识

中学数学知识。

参考资料
  1. 线性代数及其应用,天津大学线性代数课程组编,试用阶段.
  2. 线性代数及其应用,天津大学数学系编,科学出版社,2008.
  3. D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Pearson Education, Inc., 2012.
  4. D. Poole, Linear Algebra: A Modern Introduction, 4th Edition, Brooks/Cole, Thomson Learning, 2011.
天津大学
5 位授课老师
张颖

张颖

教授

孙笑涛

孙笑涛

教授

王健波

王健波

副教授

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