概率论与数理统计_对外经济贸易大学

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概率论与数理统计

开课时间： 2025年03月03日 ~ 2025年07月07日

学时安排： 2-4小时每周

进行至第5周，共19周已有 37 人参加

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spContent=全课程包含109节微课，视频总时长近1300分钟，选讲客观例题约165例，主观例题约149例，综合例题28例，PPT近1900页(附有简更版)，课程文化典故及其案例10例。每节微课首页有授课提纲，课中有主观例题1~4例，且表、图、表达式和文字并茂呈现，定理或结论多给予逻辑推理或反例，并将更多的课堂板书内容嵌入课件，使之内容详实，逻辑严谨。同时注重前后知识点的类比和区分，时时梳理和概括总结，以命名的方式强调重要方法，课程中常用的结论多配以“注”、“评”或“议”。课尾有提纲挈领，课后附随堂小测。每单元有习题课，含章小结(知识点梳理)，章客观例题选讲20~25例，章综合例题选讲1~4例，全学期计划设有4~6次单元测验以及参考答案与提示，8章作业以及参考解答与评分标准。课堂交流区设有讨论题并定期发布解答提示，老师答疑区专为同学们解疑释惑。

全课程包含109节微课，视频总时长近1300分钟，选讲客观例题约165例，主观例题约149例，综合例题28例，PPT近1900页(附有简更版)，课程文化典故及其案例10例。每节微课首页有授课提纲，课中有主观例题1~4例，且表、图、表达式和文字并茂呈现，定理或结论多给予逻辑推理或反例，并将更多的课堂板书内容嵌入课件，使之内容详实，逻辑严谨。同时注重前后知识点的类比和区分，时时梳理和概括总结，以命名的方式强调重要方法，课程中常用的结论多配以“注”、“评”或“议”。课尾有提纲挈领，课后附随堂小测。每单元有习题课，含章小结(知识点梳理)，章客观例题选讲20~25例，章综合例题选讲1~4例，全学期计划设有4~6次单元测验以及参考答案与提示，8章作业以及参考解答与评分标准。课堂交流区设有讨论题并定期发布解答提示，老师答疑区专为同学们解疑释惑。

—— 课程团队

课程概述

《概率论与数理统计》包括两部分：概率论和数理统计。

《概率论》是认识、刻画、分析各种随机现象的入门课。随机现象是自然界和现实生活中普遍存在的一种现象，无论是股市涨跌，还是发生某类事故，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是人们解决问题的一种有效方法。在统计运筹、金融资产定价，通讯等诸多领域无不运用概率论的思想和方法。因此《概率论》具有明显的实际背景和广阔的应用范围，同时它又和数学的诸多分支有着密切的联系，比如数理统计，随机过程等。

《数理统计》是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，它是以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象统计规律性的学科。研究如何有效的收集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供理论依据或建议等。数理统计在自然科学、工程技术、管理科学中得到越来越广泛和深刻的应用，其研究的内容也随着科学技术、经济与社会的不断发展而逐步扩大。

授课目标

秉承加强顶层设计，凝聚多元合力的理念，深入课程机理，以学术自身的张力，重新赋予课程质感和重量。通过沉淀与凝聚，提炼与升华，创新与优化等探索思路和举措，使学生对随机现象有充分的感性认识和准确的理性理解，掌握处理不确定性事件的理论和方法，以更好地运用概率论方法分析和解决实际问题，理解统计推断、假设检验等基本方法，并能够运用这些方法对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断，以培养学生的创新意识与实践能力，为学习后续课程以及提升数学素养奠定必要的理论基础。把马克思主义立场观点方法的教育与科学精神的培养结合起来，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力，注重数学思想方法的训练，在潜移默化中坚定学生理想信念、加强品德修养，厚植家国情怀，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。

课程大纲

第一章概率论的基础知识

课时目标：【基本要求】1．理解随机现象的概念。明确《概率论与数理统计》课程的宗旨。理解随机试验的概念，理解样本空间的概念。理解随机事件的概念，理解和掌握事件间的关系及运算规则。2．理解频率的定义，理解和掌握频率的性质。理解概率的公理化定义，理解和掌握概率的性质。3．理解古典概型的概念，理解和掌握古典概率的计算公式，理解和掌握古典概率的性质。理解和掌握有放回抽样与不放回抽样模型下古典概率的计算方法。理解抽签与顺序无关。4．理解几何概型的概念，理解和掌握几何概率的计算公式，理解和掌握几何概率的性质。5．理解条件概率的定义，理解和掌握条件概率的性质。理解和掌握乘法公式。6．理解和掌握全概率公式。理解和掌握贝叶斯公式。7．理解两个事件相互独立的定义，理解和掌握两个独立事件的相关定理。理解n(n>=3)个事件相互独立的定义，理解和掌握n个独立事件之和的概率计算方法。理解条件独立的定义(*)。8．理解伯努利概型的概念，理解和掌握伯努利概型概率的计算公式。理解实际推断原理，掌握概率论的反证法。

【内容提要】

第一节样本空间和随机事件

一、随机试验

二、样本空间

三、随机事件

四、事件间的关系及运算

第二节频率与概率

一、频率的定义及性质

二、概率的公理化定义

三、概率的性质

第三节古典概型

一、古典概型的概念及其概率计算公式

二、古典概率的性质

三、古典概型典型例题

第四节几何概型

一、几何概型的概念及其概率计算公式

二、几何概率的性质

第五节条件概率与乘法公式

一、条件概率的定义及性质

二、乘法公式

第六节全概率公式与贝叶斯公式

一、全概率公式与贝叶斯公式

第七节事件的独立性

一、两个事件相互独立的定义

二、n(n>=3)个事件相互独立的定义

三、n个独立事件之和的概率计算方法

四、条件独立的定义(*)

第八节伯努利概型

一、伯努利概型的概念及其概率计算公式

二、实际推断原理

第二章随机变量及其分布

课时目标：【基本要求】1．理解随机变量的定义。理解随机变量分布函数的定义，理解和掌握随机变量分布函数的性质。2．理解离散型变量及其概率分布的定义，理解和掌握离散型变量概率分布的性质。理解和掌握七种常用离散型分布的背景、概率分布及性质：退化分布，二项分布，(0-1)分布，几何分布，帕斯卡分布，超几何分布，泊松分布。3．理解连续型变量及其概率密度函数的定义，理解和掌握连续型变量概率密度函数的性质。理解和掌握四种常用连续型分布的背景、概率密度函数及其性质：均匀分布，指数分布，正态分布，伽玛分布。4．理解和掌握确定离散型变量函数概率分布的方法。理解和掌握利用分布函数法确定连续型变量函数分布的方法；理解和掌握利用单调变换法确定连续型变量函数分布的方法。理解和掌握确定连续型变量函数其他分布的一般方法。

【内容提要】

第一节随机变量及其分布函数

一、随机变量的定义

二、随机变量分布函数的定义

三、随机变量分布函数的性质

第二节离散型随机变量及其概率分布

一、离散型随机变量及其分布律的概念

二、离散型随机变量概率分布的性质

三、七种常用的离散型分布

退化分布；二项分布；(0-1)分布；几何分布；帕斯卡分布；超几何分布；泊松分布。

第三节连续型随机变量及其概率密度函数

一、连续型随机变量及其概率密度函数的定义

二、连续型随机变量概率密度函数的性质

三、四种常用的连续型分布：均匀分布，指数分布，伽玛分布，正态分布。

第四节随机变量函数的分布

一、离散型随机变量函数的分布

二、连续型随机变量函数的分布

1. 利用分布函数法求连续型变量函数的分布

2. 利用单调变换法求连续型变量函数的分布

三、其他

第三章多维随机变量及其分布

课时目标：【基本要求】 1．理解二维随机变量及其分布函数的定义，理解和掌握二维随机变量分布函数的性质，理解n(n>=3)维随机变量及其分布函数的定义。2．理解二维离散型变量的概念，理解二维离散型变量概率分布的定义，理解和掌握二维离散型变量概率分布的性质。理解和掌握二维超几何分布和三项分布的背景及其分布律。理解n(n>=3)维离散型变量及其分布律的概念。3．理解二维连续型变量及其概率密度函数的定义，理解和掌握二维连续型变量概率密度函数的性质。理解和掌握二维正态分布和二维均匀分布的背景、概率密度函数。理解n(n>=3)维连续型变量及其概率密度函数的概念。4．理解二维随机变量边缘分布函数的概念，理解和掌握由联合分布函数确定边缘分布函数的相关定理。理解二维离散型变量边缘分布律的概念，理解和掌握二维离散型变量边缘分布律的性质。理解和掌握二维超几何分布和三项分布的边缘分布。理解二维连续型变量边缘概率密度函数的概念，理解和掌握二维连续型变量边缘概率密度函数的性质。理解和掌握二维正态分布的边缘分布。5．理解条件分布函数的概念。理解条件分布律的定义，理解和掌握条件分布律的性质。理解条件概率密度函数的概念，理解和掌握条件概率密度函数的性质。6．理解两个随机变量相互独立的定义，理解和掌握两个随机变量相互独立的相关定理。理解n(n>=3)个随机变量相互独立的定义，理解和掌握n(n>=3)个随机变量相互独立的相关定理。理解和掌握两个离散型变量相互独立的充分必要条件，理解n(n>=3)个离散型变量相互独立的充分必要条件。理解和掌握两个连续型变量相互独立的充分必要条件，理解n(n>=3)个连续型变量相互独立的充分必要条件。7．理解和掌握确定二维离散型变量函数分布的方法，理解和掌握两种常用的离散型分布的卷积分布。理解和掌握利用分布函数法确定二维连续型变量函数分布的方法。理解和掌握利用公式法确定二维连续型变量和、差、积、商和线性和变量： Z=X+Y， Z=X-Y，Z=XY， Z=X/Y， Z=aX+bY(ab不等于0)的分布的方法。理解和掌握两种常用的连续型分布的卷积分布。理解和掌握确定二维连续型变量函数其他分布的一般方法。8．理解和掌握确定 n个独立变量的最大(最小)值变量分布的方法。

【内容提要】

第一节多维随机变量及其分布函数

一、二维随机变量及其分布函数

二、n(n>=3)维随机变量及其分布函数

第二节多维离散型随机变量及其概率分布

一、二维离散型变量及其概率分布

二、两种重要的二维离散型分布

三、n(n>=3)维离散型变量及其概率分布

第三节多维连续型随机变量及其概率密度函数

一、二维连续型变量及其概率密度函数

二、两种重要的二维连续型分布

三、n(n>=3)维连续型变量及其概率密度函数

第四节边缘分布

一、二维随机变量的边缘分布函数

二、二维离散型变量边缘概率分布律及其性质

三、两种重要的二维离散型分布的边缘分布

四、二维连续型变量的边缘概率密度函数及其性质

五、重要的二维连续型分布的边缘分布

第五节条件分布

一、条件分布函数

二、条件概率分布

三、条件概率密度函数

第六节随机变量的独立性

一、两个随机变量相互独立的定义

二、n(n>=3)个随机变量相互独立的定义

三、两个离散型变量相互独立的充分必要条件

四、n(n>=3)个离散型变量相互独立的充分必要条件

五、两个连续型变量相互独立的充分必要条件

六、n(n>=3)个连续型变量相互独立的充分必要条件

第七节二维随机变量函数的分布

一、二维离散型变量函数的分布

二、两种常用的离散型分布的卷积

三、利用分布函数法求二维连续型变量函数的分布

四、利用公式法求二维连续型变量函数的分布

五、两种常用的连续型分布的卷积

六、其他

第八节 n个独立变量的最大(最小)值变量的分布

一、 n个独立变量的最大(小)值变量的分布

第四章随机变量的数字特征

课时目标：【基本要求】1．理解离散型随机变量数学期望的定义，理解和掌握常用离散型分布的数学期望。理解连续型随机变量数学期望的定义，理解和掌握常用连续型分布的数学期望。理解和掌握随机变量函数数学期望的相关定理。理解和掌握数学期望的性质。掌握数学期望的应用方法。2．理解方差的定义，理解和掌握方差的计算公式，理解和掌握常用分布的方差。理解和掌握方差的性质。3. 理解协方差的定义，理解和掌握协方差的性质。理解二维随机变量数学期望及协方差矩阵的概念(*)，理解矩的定义。4．理解相关系数的定义，理解和掌握相关系数的性质，理解两个随机变量不相关的概念。理解和掌握随机变量不相关性与独立性的关系。5．理解和掌握二维正态随机变量的性质。6．理解条件数学期望和条件方差的定义(*)。

【内容提要】

第一节数学期望

一、离散型随机变量的数学期望

二、常用离散型分布的数学期望

三、连续型随机变量的数学期望

四、常用连续型分布的数学期望

五、随机变量函数的数学期望

六、数学期望的性质

七、数学期望的应用

第二节方差

一、方差的定义及计算公式

二、常用分布的方差

三、方差的性质

四、切比雪夫不等式

第三节协方差

一、协方差的定义

二、协方差的性质

三、多维随机变量的数学期望及协方差矩阵(*)

四、矩的定义

第四节相关系数

一、相关系数的定义

二、相关系数的性质

三、随机变量的不相关性与独立性

第五节二维正态随机变量的性质

一、二维正态变量的性质

第六节条件数学期望(*)

一、条件数学期望和条件方差的定义

第五章极限定理

课时目标：【基本要求】1．理解随机变量序列依概率收敛的定义，理解和掌握随机变量序列依概率收敛的性质。2．理解随机变量序列服从大数定律的概念，理解和掌握五个重要的大数定律。3．理解随机变量序列服从中心极限定理的概念，理解和掌握两个重要的中心极限定理。

【内容提要】

第一节依概率收敛

一、随机变量序列依概率收敛的定义

二、随机变量序列依概率收敛的性质

第二节大数定律

一、随机变量序列服从大数定律的概念

二、五个重要的大数定律

第三节中心极限定理

一、随机变量序列服从中心极限定理的概念

二、两个重要的中心极限定理

第六章数理统计的基础知识

课时目标：【基本要求】1．理解总体和个体的概念，理解简单随机样本的概念。2．理解三种常用分布：卡方分布、t分布和F分布的概念，理解和掌握三种常用分布的性质。理解四种常用分布：标准正态分布、卡方分布、t分布和F分布的分位点的概念及其性质。3．理解统计量的定义，理解和掌握单个正态总体的抽样分布定理，理解和掌握两个正态总体的抽样分布定理(*)。

【内容提要】

第一节总体与样本

一、总体与样本

第二节卡方分布、t分布与F分布

一、卡方分布

二、t分布

三、F分布

四、分布的分位点

第三节统计量和抽样分布定理

一、统计量

二、抽样分布定理

第七章参数估计

课时目标：【基本要求】1．理解估计量和估计值的定义，理解和掌握矩估计法及其理论依据，理解和掌握矩估计量的性质。理解极大似然估计值和极大似然估计量的定义，理解和掌握极大似然估计法及其理论依据，理解和掌握极大似然估计值的性质。2．理解无偏估计量的定义。有效估计量的定义。相合估计量的定义。理解均方误差的定义，理解和掌握均方误差的相关定理(*)。3．理解置信区间等相关概念，理解随机置信区间的含义，理解实数置信区间的含义。理解和掌握一个正态总体下参数区间估计的方法及相关结论。理解和掌握两个正态总体下参数区间估计的方法及相关结论(*)。4．理解单侧置信限等相关概念。

【内容提要】

第一节参数的点估计

一、估计量和估计值

二、矩估计法

三、极大似然估计法

第二节估计量的评选标准

一、无偏性标准

二、有效性标准

三、相合性标准

四、均方误差标准(*)

第三节参数的区间估计

一、置信区间

二、一个正态总体下参数的置信区间

三、两个正态总体下参数的置信区间(*)

四、单侧置信限

第八章　假设检验

课时目标：【基本要求】1．理解假设检验的基本思想。理解双边检验和单边检验、检验统计量、拒绝域、显著性水平等概念。理解第一类错误和第二类错误的概念。理解和掌握假设检验的一般步骤。2．理解和掌握一个正态总体下均值检验的拒绝域，理解和掌握两个正态总体下均值检验的拒绝域(*)，掌握正态总体均值检验的一般步骤。理解和掌握一个正态总体下方差检验的拒绝域，理解和掌握两个正态总体下方差检验的拒绝域(*)，掌握正态总体方差检验的一般步骤。

【内容提要】

第一节假设检验的基本概念

一、假设检验的基本思想

二、双边检验和单边检验

三、两类错误

四、假设检验的一般步骤

第二节正态总体下参数的假设检验

一、一个正态总体下均值的假设检验

二、两个正态总体下均值的假设检验(*)

三、正态总体下均值检验的一般步骤

四、一个正态总体下方差的假设检验

五、两个正态总体下方差的假设检验(*)

六、正态总体下方差检验的一般步骤

第九章课程文化典故及其案例

课时目标：1. 了解课程文化典故及其案例。

第一节医药检测问题

第二节求职问题

第三节命题与阅卷问题

第四节有奖竞猜问题

第五节运气问题

第六节拉普拉斯继承准则

第七节算术密度问题

第八节敏感问题的社会调查

第九节德国坦克估计问题

第十节不确定性与熵

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预备知识

《高等数学》或《数学分析》

参考资料

参考教材

[1]对外经济贸易大学统计学院数据科学系. 概率论与数理统计[M]. 对外经济贸易大学出版社，2019.

[2]陈鸿建, 赵永红, 翁洋. 概率论与数理统计(2版)[M]. 高等教育出版社，2015.

[3]浙大盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计(4版)[M]. (国家级规划教材)高等教育出版社，2008.

[4]何书元. 概率论与数理统计[M]. 高等教育出版社，2021.

参考教辅

[1]陈魁. 概率统计辅导(2版)[M]. 清华大学出版社, 2011.

[2]李贤平, 沈崇圣, 陈子毅. 概率论与数理统计[M]. 复旦大学出版社, 2003.

[3]胡庆军. 概率论与数理统计学习指导[M]. 清华大学出版社, 2013

[4]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计附册学习辅导与习题全解(或选)[M]. 高教出版社, 2013.

[5]茆诗松, 程依明, 濮晓龙. 概率论与数理统计教程(2版)习题与解答[M]. 高等教育出版社, 2012.

[6]何书元. 概率论与数理统计学习辅导与习题全解[M]. 高等教育出版社, 2022.

[7]张立卓. 概率统计辅导讲义(2版)[M]. 清华大学出版社，2024.

课外阅读文献

[1]徐传胜. 从博弈问题到方法论学科---概率论发展史研究[M]. 科学出版社, 2010.

[2][美]John Tabak(约翰×塔巴克). 概率论与数理统计[M]. 商务印书馆，2007.

[3]孙荣恒. 趣味随机问题[M]. 科学出版社，2008.

[4]龚光鲁. 概率论与数理统计[M]. 清华大学出版社, 2006.

参考文献

[1]陈鸿建, 赵永红, 翁洋. 概率论与数理统计(2版)[M]. 高等教育出版社, 2015.

[2]盛骤, 谢式千, 潘承毅. 概率论与数理统计(4版)[M]. 高等教育出版社, 2008.

[3]苏淳. 概率论(2版)[M]. 科学出版社，2010.

[4]陈家鼎, 郑忠国. 概率与统计(概率论分册2版)[M]. 北京大学出版社，2017.

[5]李贤平. 沈崇圣, 陈子毅. 概率论与数理统计[M]. 复旦大学出版社，2003.

[6]陈魁. 概率统计辅导(2版)[M]. 清华大学出版社，2011

[7]戴朝寿. 概率论简明教程(2版)[M]. 高等教育出版社，2016.

[8]胡庆军. 概率论与数理统计学习指导[M]. 清华大学出版社，2013.

[9]茆诗松, 程依明, 濮晓龙. 概率论与数理统计教程(2版)习题与解答[M]. 高等教育出版社, 2012.

[10]何书元. 概率论引论[M]. 高等教育出版社，2011.

[11]李贤平. 概率论基础(3版)[M]. 高等教育出版社，2010.

[12]李忠, 方丽萍. 数学分析教程上册, 下册[M]. 高等教育出版社，2008.

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常见问题

课程学时安排

单位：学时

第

章

第

一

章

第

二

章

第

三

章

第

四

章

第

五

章

第

六

章

第

七

章

第

八

章

第

九

章

期末

总复习

合计

1(加时)

6(加时)

1 位授课老师

张立卓

教授

张立卓

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