常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程,如牛顿运动定律、万有引力定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染等,对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此,常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学,而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。
本课程的内容包括绪论、一阶微分方程的初等积分法、一阶微分方程的解的存在定理、高阶微分方程、线性微分方程组、非线性微分方程和稳定性、一阶线性偏微分方程等。本课程在数学系的本科生课程系列中,它起着承前启后的作用。一方面,它要大量应用前面重要的基础课“数学分析”、“高等代数”和“解析几何”的内容,是数学分析的天然的后续课程,而且在它所产生的较深的问题中,它又是高等分析里大部分的理论和方法的根源。在微分方程发展的过程中,它是产生以下数学分支的主要因素之一:复分析,勒贝格积分,巴拿赫空间和希尔伯特空间。常微分方程扎根于实际问题,因此本课程又是数学理论联系实际的一个重要触角。
能够掌握常微分方程及其解的概念、解对初值的连续性、可微性定理解的存在唯一性定理、延拓定理、解对初值的连续性、可微性定理等基础理论。熟练掌握一阶微分方程的初等解法及高阶微分方程、线性微分方程以及微分方程组的常见求解方法,具备一定水平的科学计算能力。掌握线性微分方程解的性质与结构、n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系、一阶齐(非齐)线性微分方程组解的性质与结构等,具备一定的逻辑论证能力。了解常微分方程的实际背景与应用,能够自觉地用微分方程的思想去观察生活,建立简单的数学模型,解决生活中有关的数学问题。
数学分析和高等代数
教材:
王高雄等,《常微分方程》(第四版),北京:高等教育出版社,2020年。 主要参考书:
[1] 王高雄等.常微分方程(第三版).北京:高等教育出版社,2006.
[2]丁同仁,李承治.常微分方程教程(第二版).北京:高等教育出版社, 2004.
[3]庄万.常微分方程习题解.济南:山东科学技术出版社,2005.
[4]朱思铭.常微分方程学习辅导与习题解答.北京:高等教育出版社,2009.
[5] 伍卓群,《常微分方程》,北京:高等教育出版社,2004年.
[6] 东北师范大学数学系编,《常微分方程教程》(第二版),北京:高等教育出版社,1983年.
[7] 袁荣,《常微分方程》(第二版),北京:高等教育出版社,2020年.