复变函数又称复变函数论，它是由微积分理论发展起来的，理论优美而深刻，在数学的其他分支及工程技术领域有着非常广泛的应用。经典的复变函数论即为解析函数论，主要由积分理论、级数理论与共性映照理论等三部分构成，分别由柯西（A.L.Cauchy）、维尔斯特拉斯（K.T.W.Weierstrass）和黎曼（G.F.B.Riemann）为代表的数学家创立。积分理论中的柯西积分定理与柯西积分公式是整个解析函数论的基础，它们从积分的角度刻画了解析函数的特性；级数理论用函数的级数展开来刻画解析函数，揭示了函数的解析性与级数展开的内在联系，同时也为计算复积分和实积分提供了重要方法；共性映照理论研究平面上区域之间的联系，使解析函数构成平面区域之间的桥梁，也使得解析函数获得了更大的应用空间。

复变函数是本科数学专业和部分非数学理科专业和工科专业的必修课程，本课程包括各层次本科数学专业复变函数课程的主要内容，同时兼顾其他各专业对复变函数内容的需求。

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高等数学（或微积分）

绪论 （1学时）

第一章 复数及复平面 （3学时）

1.1 复数及其几何表示 

1.1.1 复数域 

1.1.2 复平面 

1.1.3 复球面及无穷大

1.2 复平面的拓扑 

1.2.1 初步概念 

1.2.2 区域·曲线

第二章 复变函数（6学时）

2.1 解析函数 

2.1.1 极限与连续性 

2.1.2 导数·解析函数

2.1.3 柯西一黎曼条件

2.2初等函数

2.2.1 指数函数 

2.2.2 多值函数导引：辐角函数（*）

2.2.3 对数函数

2.2.4 幂函数 （*）

2.2.5 三角函数 

第三章 复变函数的积分（6学时）

3.1 柯西定理 

3.1.1 复变函数的积分 

3.1.2 几个引理（*）

3.1.3 柯西定理 

3.2柯西公式 

3.2.1 柯西公式

3.2.2 柯西公式的应用 

第四章 级数 （8学时）

4.1 级数和序列的基本性质 

4.1.1 复数项级数和复数序列

4.1.2 复变函数项级数和复变函数序列 （*）

4.1.3 幂级数 

4.2 泰勒展式 

4.2.1 解析函数的泰勒展式 

4.2.2 零点 

4.2.3 解析函数的唯一性 

4.3 洛朗展式

4.3.1 解析函数的洛朗展式 

4.3.2 解析函数的孤立奇点 

4.3.3 解析函数在无穷远点的性质（*）

4.3.4 整函数与亚纯函数概念 （*）

第五章 留数（8学时）

5.1 一般理论 

5.1.1 留数定理

5.1.2 留数的计算 

5.2 留数计算的应用

5.2.1 积分的计算（1） 

5.2.2 积分的计算（2）（*）

5.2.3 亚纯函数的零点与极点的个数·鲁歇定理 （*）

第六章 保形映射 （6学时）

6.1 单叶解析函数的映射性质 

6.1.1 一般概念（*）

6.1.2 导数的几何意义

6.2 分式线性函数及其映射性质 

6.2.1 分式线性函数

6.2.2 分式线性函数的映射性质 

6.2.3 两个特殊的分式线性函数 

6.3 黎曼定理（*）

6.3.1 最大模原理·施瓦茨引理 

6.3.2 黎曼定理及边界对应概念 

6.3.3 实例 

6.4 多角形映射公式（*）

6.4.1 基本公式

6.4.2 实例

第七章 调和函数（2学时）

7.1 调和函数及其性质 

7.1.1 一般概念

7.1.2 中值公式与泊松公式·极值原理

7.2 狄利克雷问题（*）

7.2.1 圆盘上的狄利克雷问题

7.2.2 上半平面上的狄利克雷问题

【注】标注有（*）号的内容对非数学专业的学习者不作要求。

1. 余家荣，复变函数（第五版），高等教育出版社，2014

2. 王绵森，复变函数，高等教育出版社，2008

3. T.Needham，复分析（可视化方法）[英]，人民邮电出版社，2007

4. 普利瓦洛夫，复变函数引论（闵嗣鹤等译），哈尔滨工业大学出版社，2013

5. J.W.Brown, R.V.Churchill, 复变函数及其应用（邓冠铁等译），机械工业出版社，2004