课程概述

1、课程简介

计算方法是一门应用性很强的基础课,它以数学问题为对象,研究适用于科学计算与工程计算的数值计算方法及相关理论,它是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础,是用计算机进行科学计算全过程的一个重要环节。现代科学计算中常用的数值计算方法及其原理,包括误差,插值法与数值微分,数据的拟合,数值积分,解线性代数方程组的直接法,非线性方程及非线性方程组的解法等一些基本的计算方法。

 

2、课程教学内容

根据计算机及软件类专业人才对应用计算机实现科学计算能力的要求以及现代科学计算技术发展趋势,按照近代计算机常用的计算方法及基础理论进行授课,教学内容包含误差,插值法与数值微分,数据的拟合,数值积分,解线性代数方程组的直接法,非线性方程及非线性方程组的解法的一些基本的计算方法,并按照基本概念、原理方法、实际问题建模组织教学。其中:

1、误差

误差的来源,误差的种类,误差限,有效数字,相对误差,相对误差限,误差与有效数字的关系,和、差、积、商的误差。

2、插值法与数值微分

拉格朗日、牛顿插值法,分段线性插值法,插值法产生的误差,Hermite插值,分段三次Hermite插值,样条插值法。

讨论:不同插值方法所适用的范围。

3、数据拟合法

最小二乘原理,正规方程组,非线性向线性的转换方法。

4、数值积分

牛顿-科茨公式(n≤4),代数精度,梯形求积公式(抛物线公式)的误差,复化梯形求积公式、复化抛物线公式及误差,测算积分区间等份数的具体方法,加速收敛技巧,Romberg求积法,高斯求积公式构成原理和具体方法, Gauss-Legendre求积公式,Gauss-Laguerre求积公式,Gauss-Hermite求积公式。

5、解线性代数方程组的直接法

高斯消去法,高斯消去法的运算次数,列(行、全)主元素法,LU分解,LDLT分解。

6、非线性方程及非线性方程组的解法

对分区间法,牛顿方法,弦位法,牛顿法的判定定理,混合方法。


 

3、课堂教学方法

课堂讲授以讲解式、启发式、互动式教学为主,综合使用问题教学法、类比法、模型教学法,并借助于多媒体辅助教学手段,提高教学效果。在教学过程中注重启发学生的思维,采用循循善诱的方式引导学生自己发现问题,并逐步解决问题,培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力。这极大调动了学生的主观能动性,培养了学生分析和解决问题的能力。

数值计算方法的每一种算法都直接或间接与工程应用有关,引入新的方法,可通过对实际应用背景的描述激发学生学习数值计算方法的兴趣,提供数值计算方法的实际应用思路。在教学中,特别强调知识产生的背景、发展过程和应用范围,既使学生懂得结果,又能感受过程,立足直观,争取学生达到高度抽象,体现教学的直观性、抽象性、由浅入深、深入浅出的原则。


证书要求

本课程的总评成绩,由以下因素综合而成:

1、课程讨论:根据平时在课程讨论区的表现计分,占总评分数的10%;

2、完成章节测试题,占总评分数的50%;

3、期末考试:期末考试的分数占总评分数的40%。


预备知识

先修课程:高等数学、线性代数、高级程序设计语言

授课大纲

第1讲  误差

1.4 误差与有效数字

第1讲 课后讨论

1.3 误差的积累

1.1 计算方法绪论

1.6 误差的控制

1.2 误差的产生与类型

1.5 误差的传播

第1讲 误差--测试

第2讲 非线性方程的求根

2.1 方程求根的基本思想

2.2 非线性方程求根二分法

2.3 非线性方程求根的迭代法

2.4 非线性方程求根的迭代法收敛性

第2讲课后讨论

2.5 牛顿迭代法

2.6 牛顿迭代法的改进

第2讲测试

第3讲 线性方程组的直接法1——高斯消元法

第3讲 课后讨论

3.2 高斯消元法

3.1 高斯消元法的思路

3.4 列主元消元法

3.3 全主元消元法

3.5 高斯-若尔当消元法

第3讲 测试

第4讲 线性方程组的直接法2

4.4 追赶法---解三对角方程组

4.3 平方根法

4.1 三角分解法基本原理

第4讲 课后讨论

4.2 Doolitle分解法

第4讲 测试


第5讲 插值与拟合1

6.6 牛顿插值

6.7 分段低次插值

6.2  拉格朗日多项式

6.4 拉格朗日插值余项

6.5  差商

6.3 拉格朗日插值例题

6.1 插值多项式的唯一性

第6讲 测试题

第6讲 插值与拟合2

第7讲 测试

7.2  埃尔米特插值的一般形式

7.1 埃尔米特插值

7.6 加权最小二乘法

7.4 什么是最小二乘法

第7讲 讨论题

7.3 拟合法引言

7.5 最小二乘解的求法

第7讲 数值积分

8.4 复合求积公式的收敛性

8.6  龙贝格积分

第8讲 课后讨论

8.1 数值积分的概念

8.5 变步长求积

第8讲 测试

8.2 Newton-Cotes 公式

8.3 复合求积


参考资料

[1] Annette M.Burden, J.Douglas Faires, Richard L.Burden. Numerical Analysis (10th Edition) 数值分析(第10版). Cengage Learning( 圣智学习出版公司)

[2] 徐萃薇,孙绳武.《计算方法引论》第4版.高等教育出版社