《应用数学分析》课程介绍

第一模块：微积分发展史

主讲团队

魏光美副教授 长期从事分析类课程的教学与研究, 作为骨干成员，参加北航、北京市以及国家级《高等数学》精品课的建设，曾多次参加北航与北京数学竞赛的命题工作。获北航西飞奖教金一等奖，被评为北航校优秀主讲教师。从事非线性发展方程的研究，在国际SCI源刊发表论文30多篇，曾获得北航优秀硕士学位论文指导教师称号。

张奇业副教授 长期从事高等数学、工科数学分析、解析几何与拓扑学等课程的教学与研究。研究领域为模糊系统以及应用、模糊神经网络与深度学习。主持或参加多项国家自然科学基金项目，并主持多项横向课题。在国内外重要期刊上发表学术论文20余篇，翻译专著一部。

高颖辉副教授 长期从事工科高等数学和工科数学分析课程教学与研究。主持国家自然科学青年科学基金和数学天元基金项目，研究领域为常微分方程动力系统，在被国际SCI源刊发表论文10余篇。

内容介绍

微积分的发展经历了漫长的发展过程。从牛顿莱布尼茨时代的初具雏形，到欧拉时代的快速推进，到柯西时代的逐步严谨化、到康托尔时代的抽象化，再到勒贝格时代的完善与升华，最后形成了非常漂亮的微积分体系与理论。在这漫长的发展历程中，造就了许多大家耳熟能详的伟人，也成就了微积分的光辉时代。通过这一模块的学习，同学们走近这些伟人：牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟（雅各布和约翰）、欧拉、魏尔斯特拉斯、柯西和黎曼等数学家的世界，领会他们的思想，与数学大师的思想对话。

系列视频

视频1-数学家牛顿

视频2-数学家莱布尼茨

视频3-数学家伯努利家族

视频4-数学家欧拉

视频5-数学家拉格朗日

视频6-数学家柯西

视频7-数学家黎曼

视频8-数学家魏尔斯特拉斯

视频9-数学家康托尔

视频10-群星闪耀的伟大数学家

第二模块 微积分的符号计算与自动推理初步

主讲团队

王东明教授 教育部长江学者特聘教授、法国国家科学研究中心主任研究员、欧洲科学院院士。在符号计算、自动推理、知识管理与发现、生物网络等领域从事基础与应用研究。出版专著3部、教材3本、编译著20余部，发表学术论文100余篇，其代表性研究成果在科技文献中被称为“王方法”、“王简单系统”等。

陈肖宇博士 从事数学知识管理与自动发现的研究和《工科高等代数》等课程的教学工作，主持和参加多项国家自然科学基金项目，多次担任ADG、KMIS、MACIS等国际会议的程序委员会委员，发表学术论文20余篇。

模块内容

数学是研究数和形的科学。它是自然科学的语言，也是自然科学的基础。数学活动，包括数学研究、数学教学、数学交流、数学应用等都离不开各式各样的数学符号。数学对象和数学对象之间的数量与逻辑关系的表示都需要使用数学符号和符号关系式。数学研究的核心内容就是处理数学符号和符号关系式，解决有关它们的演算、证明和推理问题。数学符号与符号关系式的推理演算通常是在稿纸和黑板上进行的。那么如何在计算机上进行符号推演？这正是本模块课程要讲解的问题，即符号计算和自动推理问题。在数学的发展史上，微积分的发现是革命性的。在微积分之前，数学主要研究静态的自然现象和规律。微积分学的关键概念是导数：用符号表示就是'。有了导数，人们便可以研究动态变化的自然现象和规律。有了导数，也就有了微分和积分的概念，也就有了微分方程、微分几何、微分代数等，因而也就有了基于微积分的现代数学。所以微分和积分非常基本也非常重要。本模块首先简单介绍如何用计算机来计算微分和积分，即符号分析，然后概括介绍如何让机器自动地证明数学定理，即定理机器证明（又称为“自动定理证明”），通过举例讲解使学生理解在计算机上进行数学符号推演的基本原理和主要方法。

系列视频

视频1-符号计算与分析（1）

视频2-符号计算与分析（2）

视频3-自动推理概述

视频4-自动定理证明方法

第三模块 拓扑学与应用初步

主讲团队

严夺魁副教授 长期从事《拓扑学》、《微分流形》、《微分几何》等课程的教学与研究。主要研究领域为微分方程动力系统。在国际SCI源刊《Journal of Differential Equations》、《Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy》以及《Discrete and Continuous Dynamical Systems》等发表20余篇论文。

课程价绍

本模块介绍了拓扑学以及具体应用实例。介绍了拓扑学的起源以及它的基本思想，从早期的欧拉七孔桥问题到现在的地铁设计问题，从具体、生动的例子入手详细介绍什么是拓扑，为什么要研究拓扑以及如何应用拓扑学解决实际问题。

系列视频

视频1-什么是拓扑

视频2-拓扑与微积分

视频3-闭曲面的分类

视频4-拓扑里常用的思想

视频5-拓扑应用

第四模块微分几何与应用

主讲团队

贺慧霞副教授 长期从事微分几何和分析类课程教学与研究，北航优秀主讲教师，主要研究方向是子流形几何方向，发表论文10余篇。

课程介绍

欧式空间曲线和曲面几何的研究始于微积分在几何的应用，Euler和Monge对微分几何的早期发展做出了重要的贡献.Gauss关于曲面的理论，建立了基于曲面第一基本形式的几何，并把欧几里得几何推广到曲面上的“弯曲”的几何，使微分几何真正成为一门独立的学科。本模块讲述的主要是三维欧几里得空间中的曲线、曲面的几何理论和曲面的内蕴几何学。应用向量分析的方法研究曲线、曲面的几何性质，并研究它们的内蕴性质。在课程中主要介绍微分几何的基本观点和基本方法，着重介绍了曲线上的Frenet标架，以及如何利用自然标架和正交标架研究曲面的几何。

系列视频

视频1-预备知识

视频2-曲线

视频3-曲面

视频4-曲面的第一基本形式

视频5-曲面的的二基本形式

视频6-法曲率

视频7-主曲率和高斯曲率

视频8-自然标架运动方程

视频9-曲面论基本定理

视频10-正交活动标架

视频11-外微分运算

视频12-等距变换

视频13-特殊曲面

视频14-平行移动

第五模块 从黎曼积分到勒贝格积分

主讲团队

冯伟杰副教授 长期从事分析类课程的教学与研究。北航高等数学课程负责人，参加国家级精品课程《高等数学》的建设。先后获得过北航优秀主讲教师、“凡舟”课程教学优秀团队奖、“成飞奖教金”一等奖、“实践奖教金”优秀团队奖、校教学成果一等奖、北京市大学生数学竞赛优秀指导教师奖多次。主持或参加教改项目10余项，出版教材3套。研究方向是非线性系统及其应用，在国内外重要刊物发表论文20余篇。主持或参加国家自然科学基金4项。

课程介绍

黎曼积分的重要性是不言而喻的，它对于处理诸如分段连续的函数以及一致收敛的函数项级数来说是足够的，至今仍然是微积分课程的主要内容之一。然而，随着人们越来越多地接触到各种“奇特”现象的函数，造成了函数可积性研究的困难。为了扩充可积函数类, 以及拓宽积分与其它运算交换的条件, 需要将传统的黎曼积分定义推广。1902年，法国数学家勒贝格在“积分、长度、面积”的博士论文中所阐述的测度与积分思想成为古典分析过渡到近代分析的转折点。勒贝格建立的这套新的积分理论(即L—积分理论), 对函数限制较少, 适用范围更大，是对经典黎曼积分的一次深刻变革与发展。本模块的主要内容包括：点集的勒贝格测度、可测函数和勒贝格积分理论。

系列视频

视频1-勒贝格积分的研究背景

视频2-勒贝格积分的思想简介

视频3-勒贝格外测度

视频4-可测集与测度

视频5-可测函数

视频6-可测函数列的收敛

视频7-勒贝格积分的概念

视频8-勒贝格积分的极限定理及应用

视频9-单调函数与有界变差函数

视频10-绝对连续函数与微积分基本定理

第六模块 向量函数微积分学

主讲团队

杨小远教授 长期从事数学分析类课程的教学与研究。主讲《工科数学分析》（上、下）、《高等数学》获批国家视频精品课。获北京市教学名师、宝钢优秀教师奖以及多次获北京市和学校教学成果一等奖。研究领域是随机微分方程有限元方法以及应用调和分析与应用，在国际重要SCI源刊发表论文40余篇，出版学术专著2部，出版教材4部，并获国家十二五规划教材和北京市精品教材。

教学内容

在工程领域，许多问题利用向量函数描述，本教学模块介绍向量函数的极限、连续与一致连续、向量函数的求导和微分计算，向量函数的积分问题，利用向量函数微积分学证明开普勒三大定律。

系列视频

视频1-向量函数的定义

视频2-向量与矩阵范数定义与性质

视频3-向量函数的极限

视频4-向量函数连续与一致连续

视频5-向量函数导数与微分的定义

视频6-向量函数导数计算公式

视频7-向量函数导数计算例题

视频8-向量函数的中值定理

视频9-开普勒三大定律证明

第七模块 从泰勒公式到多项式的自适应逼近

主讲团队

杨小远教授 长期从事数学分析类课程的教学与研究。主讲《工科数学分析》（上、下）、《高等数学》获批国家视频精品课。获北京市教学名师、宝钢优秀教师奖以及多次获北京市和学校教学成果一等奖。研究领域是随机微分方程有限元方法以及应用调和分析与应用，在国际SCI源刊发表论文40余篇，出版学术专著2部，出版教材4部，并获国家十二五规划教材和北京市精品教材。

教学内容

多项式逼近是数值逼近重要的研究主要内容，在工程技术领域有重要的应用。本模块介绍4种多项式逼近的问题：（1）以导数的数值计算为例，讨论了泰勒公式在科学计算中的应用即著名的理查逊外推算法；（2）介绍了拉格朗日插值基本原理，算法和误差分析以及拉格朗日插值的稳定性分析；（3）介绍分段三次样条函数的自适应逼近算法以及收敛性问题；（4）B样条算法与应用

系列视频

视频1-泰勒公式在科学计算中的应用

视频2-拉格朗日插值逼近(1)

视频3-拉格朗日插值逼近(2)

视频4-牛顿插值

视频5-等距节点的牛顿插值

视频6-分段函数的应用：三次样条逼近(1)

视频7-分段函数的应用：三次样条逼近(2)

视频8-分段函数的应用：三次样条逼近(3)

视频9-分段函数的应用：B样条与应用

第八模块 常微分方程

主讲团队

魏光美副教授 长期从事分析类课程的教学与研究, 作为骨干成员，参加北航、北京市以及国家级《高等数学》精品课的建设，曾多次参加北航与北京数学竞赛的命题工作。获北航西飞奖教金一等奖，被评为北航校优秀主讲教师。从事非线性发展方程的研究，在国际SCI源刊发表论文30多篇，曾获得北航优秀硕士学位论文指导教师称号。

教学内容

常微分方程理论有着悠久的历史，它几乎与微积分同时产生，是数学理论联系实际问题的重要纽带之一。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程曾利用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。微分方程成为了最有生命力的数学分支之一。常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题，因而常微分方程理论是研究科学技术问题，特别是力学、物理和工程问题的重要工具。常微分方程模块共有八讲，在介绍常微分方程理论的同时，更强调了它的应用。理论上介绍了一阶常微分方程解的存在唯一性，首次积分以及定性理论初步，应用实例有核废料处理问题、塔科马大桥的坍塌问题、人造卫星轨道问题、价格模型与广告量模型等。

系列视频

视频1-可降阶的二阶微分方程

视频2-二阶常系数线性微分方程

视频3-一阶常微分方程解的存在与唯一性问题

视频4-常微分方程解组的首次积分法

视频5-常微分方程定性理论基础知识

视频6-常微分方程自治系统的解基本性质

视频7-平面曲线系统的稳定性

视频8-平面曲线稳定系统应用实例

第九模块 常微分方程数值解法几个基本问题

主讲团队

杨小远教授 长期从事数学分析类课程的教学与研究。主讲《工科数学分析》（上、下）、《高等数学》获批国家视频精品课。获北京市教学名师、宝钢优秀教师奖以及多次获北京市和学校教学成果一等奖。研究领域是随机微分方程有限元方法以及应用调和分析与应用，在国际重要SCI源刊发表论文40余篇，出版学术专著2部，出版教材4部，并获国家十二五规划教材和北京市精品教材。

教学内容

本模块讨论了常微分方程数值解的几个基本方法：欧拉方法、隐式方法、龙格库塔方法，讨论了常微分方程数值解的几个基本理论问题:收敛性、稳定性问题以及逼近阶。

系列视频

视频1- 欧拉方法与数值实验

视频2-常微分方程数值解法的几个问题：收敛与数值稳定

视频3-龙格库塔方法

视频4-龙格库塔方法数值实验

第十模块 数值优化初步

主讲团队

韩德仁教授 从事大规模优化、变分不等式理论以及在交通规划、磁共振成像中的应用领域的研究。在非线性优化计算方法，尤其是交替方向乘子法方面做出了突出贡献，并在交通规划、图像处理等应用方面取得了国际领先的成果。在国际重要SCI源刊发表论文百余篇。曾获中国运筹学会青年运筹学奖二等奖、江苏省科技进步二等奖等奖项，入选江苏省333高层次人才培养工程、江苏省“青蓝工程”中青年学术带头人。主持国家自然科学基金杰出青年基金项目，参与国家自然科学基金重点项目以及主持国家自然基金多项。担任中国运筹学会理事、数学规划分会常务理事，《计算数学》和《Journal of the Operations Research Society of China》等期刊的编委。

教学内容

本模块主要介绍数值优化的概念、最优性条件、基本模型、经典算法、以及典型的应用问题。视频1 介绍了优化的分裂及极值点、鞍点等概念以及优化研究的基本问题；视频2 讨论了凸集与凸函数，最典型的优化—凸优化的一些基本概念；视频3讨论了优化问题的一阶最优性条件、二阶条件；视频4介绍了范数的定义以及范数在优化中的应用；视频5介绍了一元优化的基本方法；视频6讨论了牛顿方法及其优缺点；视频7 讨论了无约束优化的几类传统方法；视频8讨论了指派问题，介绍了指派问题模型及应用；视频9介绍了数据拟合问题背景及数值方法；视频10讨论了稀疏优化以及大数据中的经典问题，介绍了模型的背景及流行算法。

系列视频

视频1-最优化基本概念介绍

视频2-凸优化的基本概念

视频3-最优性条件

视频4-范数的概念和性质

视频5-一元优化的基本方法

视频6-牛顿迭代方法

视频7-无约束优化

视频8-指派问题模型及应用

视频9-数据拟合方法

视频10-稀疏优化

第十一模块 月宫一号中的若干数学问题

主讲团队

刘红教授 俄罗斯自然科学院外籍院士、 国际宇航科学院院士，月宫一号总设计师。主要研究领域为特殊环境生命保障和生物安全光生物学与光保健，在国际重要SCI源刊发表论文70余篇。

胡大伟博士 主要从事生物再生生命保障系统的数学建模与计算机仿真，以及基于模型的系统设计、优化与控制等方面的研究。近年来作为主要研究人员参与完成8项国家自然科学基金、863计划课题和国际合作课题的研究，在国际SCI源刊发表论文20多篇，专利6项。同时作为主要编写人员参与我国第一部闭合人工生态系统的专著《生物再生生命保障系统理论与技术》(科学出版社)的编写工作。

教学内容

本模块视频1介绍月宫一号总体设计，以及月宫一号植物生长的数学模型和实验数据分析。视频2是生物再生生命保障系统中光藻反应器单元的数学建模。以光藻反应器为例，详细介绍生物再生生命保障系统动力学模型的构建原则与方法，包括状态变量的确定，速率方程的建立和系统控制参数设计。重点讲述如何根据各个状态变量的相互作用和相互关系建立各个速率方程，以及如何把系统控制参数合理地嵌入到速率方程中，实现对系统运行的控制。 视频3是生物再生生命保障系统中植物栽培单元的数学建教学内容：对生物再生生命保障系统中的关键系统——植物栽培单元进行系统动力学建模，包括状态变量的确定，速率方程的建立和系统控制参数设计。重点讲述如何根据生物与生物、生物与非生物环境之间的相互关系和相互作用，建立各个速率方程，以及如何把系统控制参数合理地嵌入到速率方程中，实现对系统运行的控制。 视频4是生物再生生命保障系统中植物种子萌发过程的数学建模，利用系统动力学原理和方法，对模拟空间低剂量电离辐射环境下小麦种子萌发过程进行数学建模，确定状态变量和速率方程，并把低剂量电离辐射强度作为参数设计到速率方程中，从而阐明种子萌发过程对低剂量电离辐射强度变化的响应机制。视频5是基于生物再生生命保障系统数学模型的计算机仿真实验教学内容：在系统有效的动力学模型基础上，进行计算机仿真实验，包括参数辨识、模型的有效性检验，以及基于模型的系统设计、分析、综合、控制和优化等理论研究，并把仿真实验结果运用于实际的系统设计与建造之中。

系列视频

视频1-生物再生生命保障系统“月宫一号”的设计原理与构建方法

视频2-生物再生生命保障系统中光藻反应器单元的数学建模

视频3-生物再生生命保障系统中植物栽培单元的数学建模

视频4-生物再生生命保障系统中植物种子萌发过程的数学建模

视频5-基于生物再生生命保障系统数学模型的计算机仿真实验

第十二模块 自然界信号的处理：从傅里叶变换到小波变换与应用

主讲团队

熊庆旭教授 长期从事“信号与系统”、“通信网络原理与技术”以及研究生“矩阵理论”等课程的教学工作。主持北京市精品课程“信号与系统”建设和主编北京市精品教材《信号与系统》。被评为北京市教学名师、北京市优秀教师、全国宝钢优秀教师等。主持教育部、北京市重大、重点，中国高等教育学会重点规划等十多项省部级教改项目，获得教育部及北京市等10多项教学奖励。研究领域为HDTV，网络可靠性，ATM网络，分组交换机，无线网络等领域的研究工作。目前主要从事语义通信、无线传感器网络、高性能交换机、天地一体化网络等领域的研究工作。主持参加国家自然科学基金，国家攻关，国防重点基础，国防基础、国防预研以及国际合作项目等20多项。发表50多篇学术论文，分别被SCI、EI、ISTP等收录，曾获中国电子学会年度优秀论文第一名。获得7项国家发明专利授权。出版Ad Hoc及无线传感器网络方面译著一本。

杨小远教授 长期从事分析类课程的教学与研究。主讲《工科数学分析》（上、下）、《高等数学》获批国家视频精品课。获北京市教学名师、宝钢优秀教师奖以及多次获北京市和学校教学成果一等奖。研究领域是随机微分方程有限元方法以及应用调和分析与应用，在国际重要SCI源刊发表论文40余篇，出版学术专著2部，出版教材5部，并获国家十二五规划教材和北京市精品教材。

教学内容

傅里叶变换和小波变换广泛应用与工程技术领域，本模块从应用角度介绍傅里叶变换的定义与性质，离散和快速离散傅里叶变换原理与应用，信号的多分辨分析以及哈尔小波变换的变换能力分析与应用。通过本模块的学习，使得同学们了解两个伟大算法解决实际问题的核心能力。

系列视频

视频1-傅里叶级数

视频2-傅里叶变换

视频3-系统频率响应

视频4-离散傅里叶变换

视频5-快速傅里叶变换

视频6--快速傅里叶变换应用

视频7-小波变换:信号的多分辨分析(1)

视频8-小波变换:信号的多分辨分析(2)

视频9-小波变换应用(1)

视频10-小波变换应用(2)

第十三模块 海量数据简约分析的基本思路

主讲团队

王慧文教授 长期从事应用统计学、数量分析与管理决策、管理统计、管理科学与工程学科综合课等课程的教学与研究。2011年在北航第九届“我爱我师—评选我心中最爱戴的老师”活动中获得“十佳教师奖”，2017年获得北京市教学成果一等奖，2018年获北航立德树人卓越奖，2012年获北京市师德标兵称号，2002年获宝钢优秀教师奖。主要从事经济管理中的复杂数据统计分析理论与应用研究。先后主持国家863项目以及国家自然科学基金重点项目、重点国际合作项目、面上项目等20余项。出版学术专著5部，发表论文150余篇。研究成果于1996、1999年两次获得中国航空工业总公司科技进步二等奖，2000年获北京市科技进步三等奖。2000年入选中国教育部跨世纪优秀人才培养计划，2001年获国家杰出青年科学基金。

教学内容

随着物联网、云计算、移动互联网的迅猛发展，大数据成为信息社会的重要财富，同时也给数据的处理与管理带来了巨大挑战。从大数据概念入手，介绍大数据的来源、主要挑战、关键技术，大数据处理工具和应用实例，使得学生了解大数据核心技术、大数据发展趋势。

系列视频

视频1--海量数据简约分析的基本思路

第十四模块 火箭发射中若干数学问题

主讲团队

梁国柱教授长期从事火箭推进方面的理论与实验研究，先后主持或参与多项国家863项目、国家自然科学基金项目和航天院所合作项目的研究工作，在国内外刊物和学术会议上发表多篇学术论文。曾获北京市1997年度优秀教师、北京市2008年度高等教育一等奖、2001年和2009年中国国防科学技术二、三等奖等多项奖励。

教学内容

本模块探讨火箭发射和人造卫星及飞船飞行中的若干物理问题的数学建模、表达和分析计算，力图从数学的角度使学生把握复杂航天工程问题的本质运动规律。

系列视频

视频1- 航天飞行器运动的理论基础

视频2- 航天飞行的任务分析

视频3 -火箭的发射问题

视频4-人造卫星及飞船的飞行

第十五模块 应用MTAHLAB研究数学问题

教学团队

牟晨琪博士从事信息论与编码、概率统计、计算机代数课程的教学和研究。研究领域为计算机代数、算法设计与分析。主持和参与国家自然科学基金青年基金多项，在国内外重要期刊发表论文10余篇，出版教材一部，获北航教材一等奖和北航教学成果一等奖。

教学内容

MTAHLAB软件是科学研究必备工具，本模块主要介绍MTAHLAB软件的强大功能，以及利用此软件分析微积分的若干问题，帮助学生更好理解数学。

教学视频

视频1  Maple运行环境以及基本语句介绍

视频2  Maple研究数学问题（1）

视频3  Maple研究数学问题（2）

视频4  Maple研究数学问题（3）