spContent=本课程是数学与应用数学专业及概率统计专业高年级本科生，工科硕士研究生的专业必修课。通过本课程的学习使学生了解计算方法的内容、任务、方法与特点，掌握如何将一种数学问题转化为数值问题的基本方法，提高学生用计算机解决数学问题的能力。
本课程是数学与应用数学专业及概率统计专业高年级本科生，工科硕士研究生的专业必修课。通过本课程的学习使学生了解计算方法的内容、任务、方法与特点，掌握如何将一种数学问题转化为数值问题的基本方法，提高学生用计算机解决数学问题的能力。
—— 课程团队
课程概述
《计算方法》有别于通常的公共数学（分析数学）课程，属于数值数学的范畴。也称之为-科学计算。即现代意义下的计算数学。本课程主要研究用计算机求解各种数学问题的现代、行之有效数值计算方法及其理论与软件实现。
课程的特点：
一、构造计算机可行的有效算法；二、给出可靠的理论分析，即对任意逼近并达到精度要求，保证数值算法的收敛性和数值稳定性，并可进行误差分析。三、有好的计算复杂性，既要时间复杂性好，是指节省时间，又要空间复杂性好，是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。四、数值实验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值试验证明是行之有效的。
课程内容主要包括：矩阵的LU及其相关分解、奇异值分解、求解线性方程组、非线性方程的数值法；矩阵的分析；函数逼近的Lagrange插值公式及Newton插值公式；三次样条插值；求矩阵特征值对的数值方法；函数和离散数据拟合的最小二乘法；复化的梯形求积公式和复化的simpson求积公式、Gauss型求积公式；求解一阶微分方程初值问题的线性单步法、多步法以及Ronge-kutta法、方法的稳定性、绝对稳定性和绝对稳定区间。
通过《计算方法》课程的教学，使学生掌握计算机现代数值方法的基本概念、基本理论与基本方法，使学生在较好地掌握如何将一种数学问题转化为数值问题的基本方法，提高学生用计算机解决数学问题的能力。通过数值实践环节，提高学生的算法编程实现能力，另一方面，通过数值实验，使学生对所学的方法的实际效果有进一步的了解。培养学生综合的素质和提高学生解决问题的能力是其目标。为今后的工程、软件工程实际应用打下坚实数学数值计算基础。
授课目标
计算方法是理工科相关专业的一门重要的基础课程，通过本课程的学习，使学者掌握计算方法的基础理论和方法，重点掌握线性方程组，非线性方程的数值解法、矩阵计算与分解、函数逼近与离散数据拟合，数值微分与数值积分，以及简单的一阶常微分方程数值求解，为科学计算和研究奠定必要的数学基础。
课程大纲
绪论
课时目标：了解误差产生的原因以及避免误差危害的一些原则；掌握向量范数和矩阵范数的相关性质
引言
1.1 计算机科学计算研究对象及特点
1.2.1误差来源与分类
1.2.2 有效数字的概念
1.2.3 函数计算的误差值
1.2.4 数值函数的稳定性
1.2.5 避免误差危害的基本原则和秦九韶算法
1.3.1 向量范数及矩阵范数定义
1.3.2 矩阵m1范数和F-范数
1.3.3 矩阵范数和向量范数的相容性定义和算子范数的定义
1.3.4 三个重要的算子范数
1.3.5有关矩阵范数性质的三个重要定理
第一章作业题
第一章单元测验
矩阵变换与计算
课时目标：掌握矩阵分解：LU分解，PLU分解，Cholesky分解，QR分解，Schur分解，Jordan 分解，SVD分解等；会用这些分解做数值计算
2.1.1.1 Gauss消去法和直除法
2.1.1.2 Gauss消元求解n阶线性方程组的计算量
2.1.1.3 矩阵A的LU分解
2.1.1.4 求解线性方程组的Doolittlte方法
2.1.1.5 紧凑的LU分解计算公式 LU分解的存在和唯一性
2.1.1.6 LU分解的存在和唯一性
2.1.1.7 利用LU分解求矩阵A的逆A-1
2.1.2.1Gauss列主元消去法
2.1.2.2 带列主元的LU分解
2.1.3.1 对称正定矩阵的cholesky分解定理
2.1.3.2 cholesky分解的计算公式
2.1.4 三对角矩阵的三角分解
2.1.5.1 条件数与方程组的性态
2.1.5.2 与条件数有关的一个数值例子、两个定理
2.1.6.1 householder矩阵的定义
2.1.6.2 householder矩阵的性质
2.1.6.3 矩阵的QR分解实例
2.2.1 特殊矩阵的特征系统-----矩阵的Schur分解
2.2.2 正规矩阵的Schur分解
2.2.3 矩阵的谱半径与矩阵范数的关系
2.3.1 矩阵是否可对角化的判别法则
2.3.2 矩阵的Jordan标准型
2.3.3 关于变换矩阵T的计算
2.3.4 Hamilton-Caylay定理及其应用
2.4.1-1 矩阵的奇异值定义
2.4.1-2 矩阵的奇异值分解定理
2.4.2 矩阵A的奇异值分解步骤
2.4.3用矩阵的奇异值讨论矩阵的性质
第二章作业题
第二章单元测验
矩阵分析基础
课时目标：掌握矩阵级数，矩阵幂级数，矩阵函数的性质及计算；了解矩阵的微积分学；
3.1.1-1 矩阵序列的及其收敛定义和性质
3.1.1-2 收敛矩阵
3.1.2-1 矩阵级数
3.1.2-2 特殊的矩阵级数及其相关的结论
3.1.2-3 矩阵级数绝对收敛定义及性质
3.2.1 矩阵幂级数
3.2.2 矩阵函数的定义及相关引理
3.2.3 计算矩阵函数f(tJ)的引理
3.2.4矩阵函数的计算
3.2.5计算f（A）和f（At）的有限待定系数法
3.3.1相对于数量变量的微分和积分
3.3.2相对于矩阵变量的微分
3.3.3矩阵在微分方程中的应用
3.3.4精细积分法
第三章作业题
第三章单元测验
逐次迭代法
课时目标：掌握求解线性方程组的Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代等；掌握求解非线性方程的简单迭代格式，Newton迭代格式及其变形；了解逐次迭代法的一般性质；掌握求解特征值问题的幂法、反幂法、带位移的反幂法；了解最速下降法和共轭梯度法
4.1.1 简单迭代法
4.1.2 Jacobi迭代和G-S迭代格式
4.1.3迭代法的收敛性
4.1.4 Jacobi迭代和G-S迭代的收敛性
4.1.5 判别收敛的充分性条件
4.1.6 迭代改善法
4.2.1 非线性方程简介
4.2.2 简单迭代法的一般性理论
4.2.3 迭代收敛的充分条件
4.2.4 实用收敛性的判别及收敛阶
4.3.1 Newton迭代法及其变形
4.3.2 几个数值例子
4.3.3 多根区间上的单根的计算
4.3.4 重根的计算
4.4.1 迭代的加速-SOR
4.4.2 迭代的加速-Aitken
4.5 求解特征值问题的数值方法
第四章作业题
第四章单元测验
插值与逼近
课时目标：掌握Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值；了解一般插值问题的解法，三次样条插值问题；掌握数据拟合问题的解法和最小二乘法，掌握正交多项式的性质
5.1.1 插值与逼近 引言
5.2.1 Lagrange插值公式与中国剩余定理
5.2.2-1 牛顿插值公式
5.2.2-2 牛顿插值多项式（续）--数值算例
5.2.3 插值余项
5.2.4 Hermite插值
5.2.5 分段低次插值
5.3.1 三次样条插值
5.3.2 三次样条插值及其收敛性
5.5.1 正交函数族在逼近中的应用
5.5.2 正交多项式简介
5.5.3 函数的最佳平方逼近
5.5.4 数据拟合的最小二乘法
第五章作业题
第五章单元测验
函数的插值与应用
课时目标：掌握数值积分公式，如Newton-Cotes数值积分公式，Gauss数值积分公式等；掌握代数精度的定义与性质；会求正交多项式以及利用正交多项式解决Gauss数值积分
6.1.1-1 Newton-Cotes求积公式
6.1.1-2 数值求积公式的代数精度
6.1.1-3 Newton-Cotes求积公式的余项
6.1.2 复化求积公式
6.1.3-1 基于Taylor展开数值微分公式
6.1.3-2 基于插值的数值微分公式
6.2.1 高精度数值求积公式
6.2.2-1 Gauss型求积公式
6.2.2-2 Gauss型求积系数的性质
6.2.3 构造Gauss型求积公式
6.3.1 逐次分半算法
6.3.2 外推加速技术
6.3.3 Romberg算法
第六章作业题
第六章单元测验
常微分方程的数值解法
课时目标：掌握一阶常微分方程的各种数值解法；掌握线性多步格式；掌握数值积分公式的收敛性、稳定性、绝对稳定区间等；了解高阶微分方程以及微分方程组的数值解法
7.1.1 一阶常微分方程的初值问题
7.1.2.1 隐式线性单步法
7.1.2.2 截断误差的概念视频
7.1.3 Taylor展开法
7.1.4.1 Runge-Kutta法简介
7.1.4.2 显式Runge-Kutta法
7.1.4.3 确定显式Runge-Kutta法的参数
7.2.1.1 积分插值法（基于数值积分的解法）
7.2.1.2 Adams法
7.2.2.1 待定系数法（基于Taylor展开的解法）
7.2.2.2 待定系数法构造多步法的实例
7.2.3 预估-校正算法
7.3.1 计算截断误差阶的的等价方法
7.3.2 方法的收敛性
7.3.3 单步法的绝对稳定性与绝对稳定区域
7.3.4 多步法的绝对稳定性与绝对稳定区域
7.4.0 对一阶方程组的推广
7.4.1 刚性问题
7.4.2.1 A-稳定性
7.4.2.2 A(α)-稳定性
7.5 差分法简介
7.6 精细积分法
第七章作业题
第七章单元测验
补充材料
课时目标：上机实验作业以及数值分析方法与应用的勘误
上机实验
上机实验
数值分析方法与应用勘误
数值分析方法与应用勘误
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预备知识
要求学过高等数学和线性代数这两门课程及常微分方程一阶初值问题部分
证书要求
为积极响应国家低碳环保政策， 2021年秋季学期开始，中国大学MOOC平台将取消纸质版的认证证书，仅提供电子版的认证证书服务，证书申请方式和流程不变。
电子版认证证书支持查询验证，可通过扫描证书上的二维码进行有效性查询，或者访问 https://www.icourse163.org/verify，通过证书编号进行查询。学生可在“个人中心-证书-查看证书”页面自行下载、打印电子版认证证书。
完成课程教学内容学习和考核，成绩达到课程考核标准的学生（每门课程的考核标准不同，详见课程内的评分标准），具备申请认证证书资格，可在证书申请开放期间（以申请页面显示的时间为准），完成在线付费申请。
认证证书申请注意事项：
1. 根据国家相关法律法规要求，认证证书申请时要求进行实名认证，请保证所提交的实名认证信息真实完整有效。
2. 完成实名认证并支付后，系统将自动生成并发送电子版认证证书。电子版认证证书生成后不支持退费。
参考资料
张宏伟等，《计算机科学计算》第三版，高等教育出版社，2023年
张宏伟等，《数值分析方法与应用》第一版第三次印刷，大连理工大学出版社，2019年
李庆扬等 主编. 数值分析（第5版）. 清华大学出版社，2008
黄云清等 主编. 数值计算方法. 科学出版社，2009
常见问题
重点：矩阵的分解变换、解线性代数方程组的直接解法、解线性代数方程组的古典迭代法；
难点：直接法的误差分析、SOR方法的收敛性、共轭梯度法及性质；
重点：矩阵序列、矩阵级数、矩阵幂级数、矩阵函数以及矩阵的微积分；
难点：矩阵幂级数及矩阵函数的计算；
重点：多项式插值理论，平方逼近理论，数据拟合的最小二乘法，数值积分；
难点：样条插值理论；
重点：常微分方程的数值解法，线性单步法与Runge-kutta法；线性多步法；
难点：误差分析，绝对稳定性；
解决的办法
l 通过多媒体教学手段，不断加深理解、完成每章单元测试题和单元作业互评题、参与课程讨论；
l 积极配合辅导老师的答疑；
浙公网安备 33010802012594号
