线性代数_华侨大学_中国大学MOOC(慕课)

线性代数

开课时间： 2025年02月15日 ~ 2025年07月15日

学时安排： 2-3

进行至第12周，共22周已有 97 人参加

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课程详情

课程评价(19)

spContent=线性代数主要研究线性关系，用矩阵处理数据，用变换关联核心运算，用秩体现重要信息量，用基构建空间，用特征值体现几何特性等，进而可处理许多实际问题，如线性规划、电路设计、信息隐藏、计算机图像处理等技术. 通过本课程的学习，可为后继课程的学习打下必备的代数基础知识.

线性代数主要研究线性关系，用矩阵处理数据，用变换关联核心运算，用秩体现重要信息量，用基构建空间，用特征值体现几何特性等，进而可处理许多实际问题，如线性规划、电路设计、信息隐藏、计算机图像处理等技术. 通过本课程的学习，可为后继课程的学习打下必备的代数基础知识.

—— 课程团队

课程概述

《线性代数》主要研究线性关系，是理、工、金融等诸学科的一门重要的基础理论课程，是很多后续课程的基础，并具有广泛的应用前景，可以将理论、计算和应用融合在一起，为各个学科领域提供通用的分析问题与解决问题的方法.

本课程特色：

1.以线性方程组为主线，简单易懂，自然引入后续概念。从二元和三元线性方程组的消元法出发，引入最重要的工具——矩阵的初等变换和矩阵的秩，去抽象，由浅入深，讲授线性方程组的消元法、矩阵的初等变换、线性方程组的解的判定定理、矩阵及其运算、行列式、向量组的线性相关性、矩阵的相似对角化和二次型、简单实际应用问题的转化等。

2. 课程视频主题明确，短小精悍。每个视频一个知识点、一种解法、一类证明、一题多解、应用案例、总结对比或综合计算，可支持“哪里不懂点哪里”。还可通过案例导入了解课程后续应用。整个课程直观、生动，更易接受。

课程主题讨论包含计算、应用、拓展阅读等细节，有助于深刻理解概念，夯实计算过程及其应用范围。

3.课程内容安排

第一章：以解线性方程组为主线，重点保持解线性方程组过程中“解”不变！（可承接初高中知识）

第二章：以计算行列式为主线，重点保持计算过程“数”不变！

第三章：以矩阵乘法和矩阵的初等变换为主线，建立第一、二、三章的关联；

第四章：以向量组的线性相关性为主线，讨论最大无关组，线性方程组解的结构，向量空间；

第五章：以特征值和特征向量为主线，讨论方阵相似对角化的判定条件、计算和应用；

第六章：以二次型的标准形为主线，讨论合同矩阵的计算、化标准形的方法、二次型的不定性.

注：较为抽象的计算或证明有标注，作为自由选学内容或辅修内容。

4.课程荣誉

（1）福建省精品在线开放课程

（2）福建省一流线上课程

（3）福建省线上线下混合式一流课程

（4）华侨大学精品在线开放课程

（5）华侨大学百门优质课程

5.课程适合群体

（1）具有初高中数学知识；

（2）需要学习先修课程的人群；

（3）需要学习提升或答疑解惑的在校学生和考研人群；

（4）对数学感兴趣的人群；

授课目标

1.了解线性代数的起源、理论发展及基本应用，具备基本代数素养；

2. 掌握线性代数的基本要求、基本思想、基本理论和基本计算方法；

3. 了解线性代数在后续课程中的应用；

4. 学会应用线性代数分析问题，对简单的实际问题进行转化；

课程大纲

课程绪论

课时目标：了解课程知识结构、学习内容、学习重点、学习方法及其部分应用

课程绪论

第一章线性方程组与矩阵

课时目标：1.由导入了解建立线性方程组模型的方法；2.会用消元法解线性方程组；3.会用矩阵初等行变换解线性方程组；4.会计算矩阵的秩；5.会用解的判定定理讨论方程组中参数的情况；6.完成章测验；7.可按需选择习题专题进行巩固练习

1.0 案例导入

1.1 线性方程组的概念和类型

1.2 线性方程组的解和验证

1.3 二元和三元线性方程组的几何意义

1.4 线性方程组的消元法和初等变换——二元方程组

1.5 线性方程组初等变换的应用——复杂方程组

1.6 矩阵的概念、特殊矩阵和矩阵相等

1.7 矩阵的初等变换、运算次序、矩阵等价

1.8 线性方程组与矩阵的初等变换、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵

1.9 化行最简形矩阵

1.10 化标准形矩阵

1.11 矩阵的秩及计算1——初等变换法

1.12 线性方程组的解——判定定理证明（选学）

1.13 线性方程组的解——判定+计算

1.14 含参数的线性方程组的解1——初等行变换法

1.15 第一章小结+拓展阅读

第一章测验1（对应视频1.1-1.7）

第一章测验2（对应视频1.8-1.14）

第一章习题1 （供参考）

1 chap1 线性方程组与矩阵填空题

2 chap1 线性方程组与矩阵选择题

3 chap1 线性方程组与矩阵计算题

4 chap1 习题答案或提示

5 chap1 计算题解析

第二章行列式

课时目标：1.领会排列逆序数的含义，并会计算逆序数；2.会计算行列式——用对角线法则、性质、展开定理、特殊结论、累加法等进行计算3.会进行行列式的综合计算——多种方法结合使用；4.会用Cramer法则判定特殊方程（方程个数=未知量格式）的唯一解的存在性。5.完成章测验；6.可按需选择习题专题进行巩固练习

2.0 案例导入

2.1 二阶行列式

2.2 三阶行列式

2.3 全排列和逆序数

2.4 对换

2.5 n 阶行列式——定义

2.6 行列式的计算1——用定义法

2.7 行列式的性质1——两个翻，三个零，可提性

2.8 行列式的性质2——可拆性，可加性

2.9 行列式的计算2——用性质（化零元1，化三角行列式）

2.10 行列式的计算3——用性质（化零元2，化三角行列式）

2.11 行列式的余子式、代数余子式和展开引理

2.12 行列式的展开定理

2.13 行列式的计算4——展开降阶法

2.14 行列式的计算5——化零元+降阶

2.15 行列式的计算6——数学归纳法

2.16 行列式的计算7——递推法（选学）

2.17 行列式的计算8——升阶法（选学）

2.18 行列式的计算9——含有（代数）余子式的算式（构造行列式）

2.19 Cramer法则

2.20 含参数线性方程组的解1——用Cramer法则

2.21 含参数线性方程组的解2——用Cramer法则

2.22 第二章小结+拓展阅读

第二章测验1（对应视频2.1-2.10）

第二章测验2（对应视频2.11-2.21）

第二章习题2 （供参考）

1 chap2 行列式填空题

2 chap2 行列式选择题

3 chap2 行列式计算题

4 chap2 行列式习题答案或提示

5 chap2 行列式计算题解析

第三章矩阵及其应用

课时目标：1.能熟练进行矩阵运算（加法、数乘、乘法、幂、多项式、转置）；2.领会分块矩阵的划分方案，需结合运算条件，与矩阵运算类比学习；3.熟练掌握方阵的行列式，并能与第二章行列式的性质和展开定理，进行综合计算；4.熟练掌握逆矩阵的性质、判定、计算5.领会并掌握“左行右列”，及其应用。会用初等变换法计算逆矩阵和解矩阵方程。6.了解矩阵的秩及其应用7.完成章测验；8.可按需选择习题专题进行巩固练习

3.0 案例导入

3.1 矩阵的加法和数乘运算

3.2 矩阵的乘法运算

3.3 方阵的幂1——数学归纳法

3.4 方阵的幂2——乘法结合律

3.5 方阵的幂3——二项式分布法

3.6 方阵的幂4——方阵多项式

3.7 矩阵的转置运算

3.8 分块矩阵的定义和运算

3.9 分块对角阵的运算

3.10 矩阵按行或列划分的应用

3.11 矩阵方程的解的判定——定理证明（选学）

3.12 方阵的行列式的性质

3.13 伴随矩阵的性质

3.14 逆矩阵的定义、唯一性、存在性

3.15 方阵可逆的充要条件

3.16 逆矩阵的性质

3.17 逆矩阵的计算1——因式分解法

3.18 逆矩阵的计算2——待定系数法

3.19 逆矩阵的计算3——伴随矩阵法

3.20 逆矩阵的计算4——分块矩阵法

3.21 逆矩阵的应用1——方阵的幂

3.22 逆矩阵的应用2——解矩阵方程1

3.23 矩阵与行列式的运算比对——综合

3.24 方阵行列式的计算——综合（抽象）

3.25 初等矩阵与初等变换——左行右列

3.26 初等矩阵与可逆矩阵

3.27 逆矩阵的计算5——初等变换法

3.28 解矩阵方程2——初等变换法

3.29 最高阶非零子式

3.30 初等变换不改变最高阶非零子式的阶数——定理证明（选学）

3.31 矩阵的秩的等价定义

3.32 矩阵秩的计算2——用最高阶非零子式的阶

3.33 矩阵秩的性质1-6——性质证明

3.34 矩阵秩的性质7-8——性质证明（选学）

3.35 矩阵秩的性质9——性质证明（选学）

3.36 矩阵秩的性质——证明题

3.37 第三章小结 + 拓展阅读

第三章测验1（对应视频3.1-3.12）

第三章测验2（对应视频3.13-3.24）

第三章测验3（对应视频3.25-3.36）

第三章习题3 （供参考）

1 第三章矩阵及其应用填空题

2 第三章矩阵及其应用选择题

3 第三章矩阵及其应用计算题/证明题

4 第三章矩阵及其应用习题答案或提示

5 第三章矩阵及其应用计算题解析

第四章向量组的线性相关性向量空间

课时目标：1.掌握向量组的线性运算，以及向量组与矩阵、线性方程组之间的关系；2.熟练掌握向量组之间线性表示的判定和计算；3.熟练掌握向量组的线性相关性的判定、性质和计算；4.熟练掌握向量组的最大无关组和秩的计算；5.掌握线性方程组的通解结构；6.领会向量空间的特性与构建方法；7.了解线性空间；8.完成章测验；9.可按需选择习题专题进行巩固练习

4.0 案例导入

4.1 向量组的概念和线性运算

4.2 向量组的线性表示及其充要条件

4.3 向量组之间的线性表示及其充要条件

4.4 向量组等价及其充要条件

4.5 向量组等价与矩阵等价

4.6 向量组线性相关性充要条件1

4.7 向量组线性相关性充要条件2

4.8 向量组线性相关性充要条件3

4.9 向量组线性表示的唯一性

4.10 向量组线性相关性的性质1

4.11 向量组线性相关性的性质2

4.12 向量组线性相关性的性质3

4.13 向量组线性相关性的判定——习题

4.14 向量组线性相关性与线性表示

4.15 初等行变换不改变列向量组的线性相关性

4.16 最大无关组的定义和性质

4.17 向量组的秩

4.18 向量组的秩与矩阵的秩——三秩相等

4.19 最大无关组和秩的计算1——定义法

4.20 最大无关组和秩的计算2——逐项扩充法

4.21 最大无关组和秩的计算3——初等变换法

4.22 向量组的秩的相关结论——证明题

4.23 Ax = O 解的性质、基础解系和通解

4.24 Ax = O 基础解系和通解——计算

4.25 Ax = O 通解结构——应用

4.26 Ax = b 解的性质、通解结构及计算

4.27 Ax = b 通解结构——应用

4.28 向量空间——定义

4.29 向量空间——基、维数和坐标

4.30 向量空间——基变换和坐标变换

4.31 线性空间——定义（选学）

4.32 线性空间——基、坐标和基变换、坐标变换（选学）

4.33 第四章小结+拓展阅读

第四章测验1（对应视频4.1-4.15）

第四章测验2（对应视频4.16-4.30）

第四章习题4 +chap1-chap4 复习串讲（供参考）

1 第四章向量组的线性相关性填空题

2 第四章向量组的线性相关性选择题

3 第四章向量组的线性相关性计算题/证明题

4 第四章向量组的线性相关性习题答案或提示

5 第四章向量组的线性相关性计算题解析

6 chap1-chap4 复习串讲

第五章特征值和特性向量理论相似矩阵

课时目标：1.掌握欧氏空间的基本概念及其性质，会计算向量之间的夹角，会用作施密特正交化；2.熟练掌握特征值和特征向量的定义、性质和计算；3.掌握矩阵相似对角化的性质、判定，并会计算；4.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，并会计算；5.完成章测验；6.可按需选择习题专题进行巩固练习

5.0 案例导入

5.1 欧氏空间——内积、长度、夹角和正交性

5.2 欧氏空间——正交向量组和标准正交向量组

5.3 欧氏空间——施密特正交化过程

5.4 欧氏空间—— 正交矩阵和正交变换

5.5 特征值和特征向量——定义

5.6 特征值和特征向量——计算

5.7 特征值和特征向量——性质 1

5.8 特征值和特征向量——性质 2

5.9 特征值和特征向量——性质 3（选学）

5.10 应用案例——环保问题

5.11 相似矩阵——定义和性质

5.12 方阵相似对角化——判定定理

5.13方阵相似对角化——计算——找可逆矩阵P

5.14 方阵相似对角化——应用

5.15 实对称矩阵的相似对角化 ——性质

5.16 实对称矩阵的相似对角化 ——计算—找正交矩阵P

5.17 实对称矩阵的相似对角化 ——利用特性计算

5.18 第五章小结 + 拓展阅读

第五章单元测验1（对应视频5.1-5.10）

第五章单元测验2（对应视频5.11-5.17）

第五章习题5 （供参考）

1 第五章特征值和特征向量理论填空题

2 第五章特征值和特征向量理论选择题

3 第五章特征值和特征向量理论计算题/证明题

4 第五章特征值和特征向量理论习题答案或提示

5 第五章特征值和特征向量理论计算题解析

第六章二次型

课时目标：1.了解二次型的一般模型、标准形和规范形的联系与区别，并能建立二次型与矩阵的关系；2.掌握矩阵合同的性质和计算；3.会化二次型为标准形；4.掌握惯性定理5.会判定二次型的正定性6.完成章测验；7.可按需选择习题专题进行巩固练习

6.1 二次型及其矩阵表示

6.2 方阵合同对角化——定义和性质

6.3 方阵合同对角化的计算1—— 正交变换法

6.4 矩阵合同对角化的计算2——初等变换法

6.5 化标准形1 ——配方法

6.6 化标准形2 ——正交变换法

6.7 化标准形3 ——初等变换法

6.8 化规范形惯性定理

6.9 正定二次型——判定1+计算

6.10 正定二次型——判定2+计算

6.11正定二次型——判定2 定理证明（选学）

6.12 负定二次型的判定（选学）

6.13正定矩阵的判定和性质

6.14 二次曲面（选学）

6.15 第六章小结+拓展阅读

第六章单元测验（对应视频6.1-6.14）

第六章习题6 （供参考）

1 第六章二次型填空题

2 第六章二次型选择题

3 第六章二次型计算题

4 第六章二次型习题答案或提示

5 Matlab在线性代数中的应用

6 历届考研题

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预备知识

会加法和乘法运算

会解二元一次方程组

初高中数学知识

参考资料

1.谢小贤主编，李鸿萍，黄哲煌副主编 .2019.7. 线性代数.清华大学出版社

2.同济大学数学系.2014.线性代数.7版.高等教育出版社.

3.同济大学数学系.2014.线性代数学习辅导与习题选解.高等教育出版社.

4.陈建龙,周建华,张小向,韩瑞珠,周后型.2016.线性代数（第二版）.北科学出版社.

5.罗从文主编.2016.线性代数教程（第三版）.科学出版社.

6.林亚南编著.2013.高等代数. 北京：高等教育出版社.

7.David C.Lay著.刘深泉,洪毅等译.2005.线性代数及其应用.北京：机械工业出版社.

常见问题

同学们在学习过程中有任何建议或疑问，可以通过MOOC讨论区，反馈给我们，我们将不断调整完善，以帮助同学们更加顺利地开展学习。

Q1：矩阵与行列式的联系与区别？

A1：可参考综合视频 3.23.

这个问题解决了，可以事半功倍哦~~~~~

Q2：化行阶梯形矩阵，化行最简形矩阵，化标准形矩阵与解线性方程组的关系？

A2：化行阶梯形矩阵的过程相当于解线性方程组的消元过程，使用初等行变换；

化行最简形矩阵的过程相当于解线性方程组的消元过程和回代过程，使用初等行变换；

化标准形矩阵的过程与解线性方程组无关，可以使用初等行变换和初等列变换；

可参考视频 1.8， 1.9, 1.10

另注这三种解题过程都可以用来讨论计算矩阵的秩，可参考视频 1.11

重点难点是：何时化简至行阶梯形？何时化简至行最简形？何时化简至标准形？

Q3：关于含参数的线性方程组的解的情况，应如何讨论参数的取值范围？

A3：常用的方法有两种，可参考视频 1.14，视频 2.20, 2.21

重点是：从哪里入手？？？还需不重不漏地讨论参数的各种取值情形！!

Q4：如何利用行列式的性质及分块矩阵思想计算抽象行列式？

A4：可参考综合视频 3.24.

这个思想会一直用到第四章向量组。。。

Q5：求逆矩阵的计算方法有哪些？

A5：求逆矩阵的计算方法有5种，可参考视频 3.17, 3.18， 3.19, 3.20, 3.27

可以比较各种方法的优劣及其适用范围！！！对比学习！！

Q6：解矩阵方程的方法有哪些？

A6：常用的方法有两种，可参考视频 3.22, 3.28

需特别注意：可逆矩阵的位置！！！左乘或右乘是不一样哦~~~~~~

Q7：找可逆矩阵，使实对称矩阵相似对角化，或找正交矩阵，使实对称矩阵相似对角化，

这两个过程一样吗？

A7：不一样。因为正交矩阵一定是可逆矩阵，但反之不成立。可参考视频 5.13, 5.16

特别地，找正交矩阵使实对称矩阵相似对角化，

这一过程和第六章用正交变换法（正交矩阵法）使实对称矩阵合同对角化，有关系哦~~~

Q8：把二次型化为标准形，有几种方法？

A8：有3种方法，可参考视频 6.5, 6.6, 6.7，

注意它们的联系与区别：比如标准形是否唯一，或正、负惯性指数的关系，或标准形的系数的含义等多方面进行考察！

欢迎加入讨论！！

祝学习愉快！！！

————————

课程团队

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5 位授课老师

谢小贤

讲师

黄哲煌

副教授

李鸿萍

讲师

谢小贤

黄哲煌

李鸿萍

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