线性代数_江西财经大学_中国大学MOOC(慕课)

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线性代数

开课时间： 2019年10月10日 ~ 2019年12月28日

学时安排： 3-5小时每周

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课程详情

课程评价(135)

spContent=“线性代数”是最有趣、最有价值的大学数学课程之一。以行列式、矩阵、向量为工具，主要研究向量空间中向量间的线性关系、空间的线性结构和向量空间之间的线性映射。具有实用性、抽象性和高度思辨性的特点，为其他课程和应用领域提供了处理多元问题的工具、思想和方法。内容丰富，讲解精到，教学得法。

“线性代数”是最有趣、最有价值的大学数学课程之一。以行列式、矩阵、向量为工具，主要研究向量空间中向量间的线性关系、空间的线性结构和向量空间之间的线性映射。具有实用性、抽象性和高度思辨性的特点，为其他课程和应用领域提供了处理多元问题的工具、思想和方法。内容丰富，讲解精到，教学得法。

—— 课程团队

课程概述

一、线性代数的重要性

1、统计数字表明，大学数学课程中对学生影响最大的是“线性代数”，其次是高等数学中的多元函数微积分。

——数学家、中国科学院院士徐宗本（2009 年第五届全国“大学数学课程报告”论坛）

2、“线性代数”是最有趣、最有价值的大学数学课程。

——美国数学教育家David C.Lay

3、无论何时,人们的生活都离不开对通信的需求。通信技术的发展,更离不开数学基础研究的支撑。微积分运用、傅里叶级数、线性代数等数学理论,都给通信技术发展提供了依据。

——中国联通研究院院长张云勇

二、线性代数课程介绍

1、课程内容介绍

线性代数是大学数学中一门主要的基础理论课程，它以行列式、矩阵、向量为工具，主要研究向量空间中向量间的线性关系、空间的线性结构和向量空间之间的线性映射。这门课程具有实用性、抽象性和高度思辨性的特点，为其他课程和应用领域提供了处理多元问题的工具、思想和方法。

2、课程蕴涵的数学思想方法

线性代数课程中蕴涵有丰富的数学思想方法，如分类、变换、归纳、公理化、同构、类比和化归等思想方法。数学思想方法是数学的本质、数学的精髓，是联系各方面数学知识的纽带。而在课程、教材中数学思想方法往往以隐形的方式出现，有具体的知识载体传播和呈现，它们蕴涵在数学概念、数学知识的发生、发展和应用的过程中。

三、线性代数的教和学

随着计算机技术的飞速发展与广泛应用，作为离散化和数值计算理论基础的线性代数的作用与地位显得日益重要，线性代数在现代科学的各个领域都有广泛的应用。但线性代数抽象难懂，学了有什么用？这是学生普遍存在的疑问。

1、如何教

本课程针对线性代数知识结构特点，将知识点细化并深入探究，包括五部分内容：一是从几何角度对线性代数的抽象概念进行诠释，如特征值与特征向量的几何意义等。二是典型例题选讲，根据多年的教学经验，收集、整理学生常见的问题，精心筛选，使学生牢固掌握相关知识。三是知识专题选讲，如伴随矩阵问题、初等变换问题、矩阵方程问题等。四是精彩应用案例，有助于激发学生学习兴趣，培养学生应用建模与解决实际问题的意识与能力。

2、如何学

通过本课程的学习，要求同学们能化解课程难点，深入理解与掌握课程的重点，领略线性代数丰富多彩的应用案例，学会用线性代数知识去解决实际问题。提升数学思维、创新意识、数学建模及数值计算的能力，为后续课程的学习和工作实践奠定基础。

四、教学团队介绍

团队老师长期致力于“线性代数”教学与研究，经验丰富，效果突出，获得过江西省“教学三等奖”、“优秀指导教师”以及全校“教学名师”、“教学十佳”、 “金牌教师”等称号，编著了教材两部，建设了“省级精品课程”，立项了省“重点教改课题”一项。

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授课目标

本课程根据教育部颁布的经济、管理专业《经济数学》教学大纲，针对经济数学教学改革的需要，以培养“厚基础、宽口径、高素质”人才为宗旨，系统地介绍了线性代数的主要内容和方法，包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、方阵的特征值和特征向量等5章，注重基本知识、基本技能、基本方法的训练以及实际能力的培养，注重学科的前沿性，便于学生学以致用。例题和习题选用基础、适中和综合提高三类典型题，既照顾一般程度水平的学生要求，也兼顾准备参加硕士研究生入学考试读者的需求。

课程大纲

第一章行列式

课时目标：了解行列式的定义；理解行列式的性质；熟练掌握行列式计算方法（特别是低阶行列式和特殊形式行列式），会计算简单的n阶行列式；了解cramer法则在线性方程组求解理论中的重要性。

1.1 二阶与三阶行列式

1.2 全排列与逆序数

1.3 高阶行列式

1.4 行列式的性质

1.5 行列式展开定理

1.6 拉普拉斯展开

1.7 行列式计算技巧（1）

1.8 行列式计算技巧（2）

1.9 Cramer法则

第二章矩阵

课时目标：理解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的加法、减法和乘法运算，熟练掌握利用伴随矩阵求逆矩阵的方法；了解初等矩阵、初等变换等概念，熟练掌握初等变换求逆矩阵的方法，了解分块矩阵的定义和运算，掌握矩阵分块的方法，会用分块矩阵求逆。

2.1 矩阵的定义

2.2 矩阵的运算

2.3 转置矩阵性质和方阵的幂

2.4 逆矩阵的定义和性质

2.5 伴随矩阵求逆法

2.6 矩阵的初等变换

2.7 矩阵的标准型

2.8 初等变换求逆法

2.9 矩阵的分块

第三章向量

课时目标：了解N维向量的概念；掌握向量组的线性组合概念和组合系数的求法；理解向量组线性相关，与线性无关的定义和判别法；理解向量组的极大无关组和向量组的秩的定义；会求向量组的极大无关组和向量组的秩；清楚向量组的秩与矩阵的秩之间的关系；了解向量空间的定义和向量空间的基与维数和坐标的概念。

3.1 什么是向量

3.2 线性组合——一个向量与多个向量

3.3 向量组的线性相关性

3.4 线性相关性的性质1

3.5 线性相关性的性质2

3.6 线性相关性的性质3

3.7 线性相关性的性质4

3.8 向量组的极大线性无关组

3.9 向量组的等价

3.10 向量组中向量个数与线性相关性

3.11 向量组的秩和极大无关组

3.12 矩阵的秩与初等变换(求矩阵秩的方法（1）)

3.13 求矩阵秩的方法（2）

3.14 什么是向量空间

3.15 向量的内积

3.16 向量组正交化

3.17 正交矩阵

第四章线性方程组

课时目标：了解线性方程组的解、特解、基础解系和一般解的概念；理解线性方程组的性质及结构，熟练掌握线性方程组的求解方法；了解系数矩阵和增广矩阵的概念，能熟练地利用矩阵的初等变换和矩阵的秩等方法判别线性方程组的解的情况，能熟练的求出线性方程组的基础解系和一般解。

4.1 线性方程组的表达形式

4.2 线性方程组解的判定

4.3 齐次线性方程组的解

4.4 非齐次线性方程组的解

4.5 线性方程组的公共解问题

4.6 线性方程组的同解问题

4.7 线性方程组的应用之一

4.8 线性方程组的应用之二

第五章矩阵的特征值问题

课时目标：了解相似矩阵的概念，掌握相似矩阵的性质；熟悉方阵A的特征值、特征向量、特征矩阵和特征多项式的概念，能熟练地求出矩阵A的特征值和特征向量；理解特征向量的性质；掌握矩阵A相似于对角矩阵的条件，熟练地将相似于对角矩阵的已知矩阵A化为对角矩阵；了解正交矩阵的定义和它的性质，熟练地将N阶实对称矩阵化为对角矩阵，并会求对应的N阶正交矩阵。

5.1 特征值与特征向量的引入

5.2 特征值与特征向量的计算

5.3 特征值与特征向量的计算实例

5.4 特殊矩阵的特征值与特征向量

5.5 特征值与特征向量的基本性质

5.6 相似矩阵定义及其性质

5.7 矩阵相似与矩阵等价

5.8 方阵对角化的条件

5.9 实对称矩阵的特征值和特征向量的重要结论

5.10 实对称矩阵的对角化

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预备知识