spContent=《数学分析》是数学专业最重要的专业基础课，开设周期长，知识含量多，技能要求高，内容丰富，体系严密，是所有后继课程学习的基础，是数学专业研究生入学考试必考课程。既是连接初等数学与现代数学的桥梁，又是现代数学的基础，本课程包含基本理论、方法、疑难问题解析、考研要点综述和考研真题选讲。
《数学分析》是数学专业最重要的专业基础课，开设周期长，知识含量多，技能要求高，内容丰富，体系严密，是所有后继课程学习的基础，是数学专业研究生入学考试必考课程。既是连接初等数学与现代数学的桥梁，又是现代数学的基础，本课程包含基本理论、方法、疑难问题解析、考研要点综述和考研真题选讲。
—— 课程团队
课程概述
“数学分析”是数学专业开设周期最长的课程，又是数学学习的基础课程，内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线积分、重积分、曲面积分等众多内容，学完整个课程一般需要三个学期.为了便于学习者学习，我们将“数学分析”分为数学分析（一）、“数学分析（二）”、“数学分析（三）”和“数学分析（四）”4个板块进行。每个板块的学习时间大约为10-12周.
“数学分析（一）”的教学内容包括：实数理论、数列极限、函数极限、连续、一元函数的导数与微分.
本课程中有关数学分析的经典内容参照华东师大数学系编写的《数学分析》教材，配合其他通用数学分析教材，博采众家之长，并对教学内容体系进行了调整和改革，以适应普通高校和大众化高等教育背景下学生的学习要求。用新的理论和方法处理教学难点.以一般的理论和方法统筹处理具体的、特殊的教学内容，优化内容结构.
课程特色
（1）面向普通高校、适合大众化学习需求
针对大众化高等教育背景下学生的学习要求，遵循由浅入深，由具体到抽象，逐步提高的教学思想，设计教学内容，力求简明扼要，通俗易懂，帮助同学们尽快提升数学修养、分析问题和解决问题的能力，掌握数学分析的基本思想方法和基本技能，高质量的学好数学分析这门至关重要的专业基础课程.
（2）精选细讲、破解难点
通过精讲数学分析基本理论、基本方法，分析疑难问题和考研要点，精选细讲考研真题和经典例题，为进一步学习和研究打下坚实的理论基础。注重方法、技能和逻辑思维的训练与培养，通过大量不同层次、不同难度、不同类型的习题、测试题，培养学生逻辑思维的严密性.
（3）知识传授、学习辅导、创新训练三位一体
充分利用课程平台容量大的信息优势，将电子教案、视频讲解、在线讨论、在线作业、在线测验融为一体。为学习者搭建方便快捷，容经典理论学习、网络在线学习、解题分析、课后思考、巩固提高、解题训练于一体的数学分析学习与技能训练平台，供不同要求的学习者选择，为混合翻转教学的教师提供教学空间和教学资源.
授课目标
课程目标是通过精讲数学分析基本理论、基本方法，分析疑难问题和考研要点，精选细讲考研真题和经典例题，帮助同学们尽快提升数学修养、分析问题和解决问题的能力，掌握数学分析的基本思想方法和基本技能，高质量的学好数学分析这门至关重要的专业基础课程，为进一步数学学习和研究打下坚实的理论基础。
课程大纲
第一单元 ：数学分析产生的实际背景与预备知识
课时目标：本单元介绍数学分析产生的背景，回顾实数的基本理论，梳理函数的概念与性质，为后面的讨论做必要的准备.
1.1.1数学分析产生的背景
1.2.1 实数的基本理论
1.3.1函数相关概念
1.3.2函数的相关性质
1.4.1实数基本理论与函数的疑难解析
1.4.2实数基本理论与函数考点分析
1.4.3实数基本理论与函数考题选讲
单元测试
单元作业
第一单元讨论题
第二单元： 函数极限的性质与计算方法
课时目标：本单元主要讨论函数极限的概念、性质、判定和运算法则，介绍与极限概念密切相关、且在微积分运算中有重要作用的无穷小量、重要极限.牢固掌握函数极限是学好数学分析的基础.
2.1.1x趋于无穷时的函数极限
2.1.2x趋于x-0时的函数极限定义
2.1.3函数极限的性质
2.1.4 单调有界定理
2.2.1无穷小量的定义
2.2.2无穷小量阶的比较
2.3.1两个重要的函数极限
2.3.2函数极限的判定方法
2.3.3渐近线
2.4.1函数极限疑难解析
2.4.2函数极限考点分析
2.4.3函数极限考题选讲
第二单元讨论题
单元测试
单元作业
第三单元： 数列极限
课时目标： 由有限认识无限，由离散逼近连续是分析处理问题的基本方法，因而造就了数列的概念.数学中的许多问题,如用有理数逼近无理数、用逼近法求方程的根、求曲边图形面积、实数域完备化的各种刻画,把复杂的函数表示成一些简单形式的函数的无穷和等问题,都涉及数列的极限. 本单元先介绍数列收敛的概念、性质,然后讨论数列收敛的判定准则,包括单调有界原理、柯西收敛准则,最后介绍联系数列极限与函数极限存在性的一个重要的结论——归结原则.
3.1.1数列收敛的定义
3.1.2 收敛数列的性质
3.2.1数列的单调有界定理
3.2.2数列的柯西收敛准则
3.3.1 数列收敛的例题
3.3.2 函数极限的归结原则
3.4.1数列极限疑难解析与考点分析
3.4.2数列极限考题选讲
第三单元讨论题
单元作业
单元测验
第四单元： 函数的连续性
课时目标：本单元先通过极限引入函数的连续性,然后讨论闭区间上连续函数的性质.通过学习，理解掌握函数连续性的概念及连续函数的性质，熟练掌握间断点的分类。理解一致连续性概念。
4.1.1函数在一点的连续性
4.1.2连续函数的局部性质
4.1.3间断点的分类
4.2.1闭区间上连续函数的最大最小值定理
4.2.2连续函数的介值性
4.3.1一致连续性
4.3.2反函数及初等函数的连续性
4.4.1连续函数疑难解析
4.4.2连续函数考点分析
4.4.3连续函数考题选讲
单元作业
第四单元讨论题
单元测验
第五单元： 一元函数的微分学
课时目标：通过本单元的学习，熟练掌握导数及微分的定义，理解导数的几何及物理意义，熟练掌握求导数、求微分的方法。了解微分在近似计算中的应用。
5.1.1导数与微分的定义
5.1.2导数与微分的运算规则
5.2.1导数的计算方法
5.2.2导数的计算方法2
5.3.1参变量函数的导数
5.3.2高阶导数与高阶微分
5.3.3高阶导数与高阶微分的计算
5.4.1导数与微分疑难解析
5.4.2导数与微分考点分析
5.4.3导数与微分考题选讲
第五单元讨论题
单元测试
单元作业
第六单元： 微分中值定理
课时目标：本单元先介绍微分学中的重要结论——微分中值定理,然后讨论导数的应用.通过学习，理解微分中值定理的几何意义，掌握微分中值定理的证明和应用，熟练掌握罗比达法则求极限。
6.1.1费马定理与罗尔中值定理
6.1.2罗尔中值定理条件分析
6.2.1拉格朗日中值定理
6.2.2拉格朗日中值定理的推论与函数单调性
6.3.1柯西中值定理与不定式的极限
6.3.2其他类型的不定式极限
6.4.1微分中值定理疑难解析
6.4.2微分中值定理考点分析
6.4.3微分中值定理考题选讲
第六单元讨论题
单元测验
单元作业
第七单元: 泰勒公式
课时目标：本单元介绍泰勒公式，通过学习，掌握初等函数的带有佩亚诺型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式，理解泰勒公式，了解方程的近似解及泰勒公式在近似计算中的应用。
7.1.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式
7.1.2基本初等函数的泰勒公式
7.2.1带有拉格朗日型余项的泰勒公式
7.2.2泰勒公式在近似计算中的应用
7.3.1泰勒公式疑难解析与考点分析
7.4.1泰勒公式考题选讲
第七单元讨论题
单元作业
单元测验
第八单元: 函数极值与凸性分析
课时目标：本单元将讨论函数的极值与凸性。通过学习，学会应用导函数的特性判定函数的局部极大值和局部极小值，预测和分析函数图像的形状. 利用函数的二阶导数判定函数图像是上升或下降，分析图像是怎么弯曲的。
8.1.1极值的判定
8.1.2极值判定例题
8.2.1凸性概念
8.3.1凸函数的判定
8.3.2凸函数的性质
8.4.1凸函数疑难解析
8.4.2凸函数考点分析
8.4.3凸函数考题选讲
单元作业
单元测试
第八单元讨论题
第九单元 极限综合解题方法
课时目标：本单元通过典型例题，对极限综合解题方法进一步讲解，是对极限计算方法和综合技能的进一步提升，是为对数学分析学习有较高学习要求的同学设置的.
9.1 极限综合解题方法一
9.2 极限综合解题方法二
9.3 Stolz定理
9.4 极限综合解题方法三及Stolz定理求极限
9.5 极限综合解题方法四
第十单元 导数与微分综合解题方法
课时目标：本单元通过典型例题，对导数与微分综合解题方法进一步讲解，是对极限计算方法和综合技能的进一步提升，是为对数学分析学习有较高学习要求的同学设置的.
10.1导数与微分解题方法（一）
10.1导数与微分解题方法（二）
10.1导数与微分解题方法（三）
10.1导数与微分解题方法（四）
10.1导数与微分解题方法（五）
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预备知识
参考资料
1.《微积分学教程（第八版）》 菲赫金哥尔茨 高等教育出版社 推荐理由： 数学分析经典权威教材， 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面、深入掌握数学分析理论的学生是一本很好的参考书。 2. 《数学分析（第四版）》 华东师范大学数学系 高等教育出版社 推荐理由： 国内较有影响的数学分析教材，是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材，普通高等教育“九五”国家教委重点教材，该教材选材精练、内容适中、结构合理、 思路清晰、论述清楚，可读性强。 另外, 该教材的习题配置难易适中，紧密结合课程内容，能够帮助学生进一步理解和掌握所学课程内容，而且附有答案，便于学生自学。 3.《数学分析讲义》 刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁， 高等教育出版社 推荐理由： 本书阐述细致，引进概念注意讲清实际背景，定理证明、公式推演作了必要的分析，通俗易懂，便于自学。 4.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社 推荐理由： 本书论述细致，引进概念注意讲清实际背景，定理证明、公式推演作了必要的分析，并提出一些值得思考的问题；通过大量不同类型例题，介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册，其中有不少有一定难度、技巧性较高的习题，对于培养分析问题、解决问题、进一步提高数学分析素养有很好的作用。 5. 《数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文 高等教育出版社 推荐理由： 书中系统地汇集了数学分析中各个部分的一些典型例题和习题，并着重于分析解题的思路和方法，同时选用了大量研究生入学试题、国外高校竞赛试题，并进行分析讲解。书中题目具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性，对于加深数学分析思想方法的理解、提高分析能力和数学素养非常有益。 6. 《数学分析（第一卷、第二卷）》 B.A.卓里奇著， 蒋铎、王昆扬、周美柯、等译 高等教育出版社 推荐理由： 本书在内容方面注重与其平行的以及后继的分析、代数、几何方面的现代数学课程之间的联系，重点讨论一般数学中最有本质意义的那些基本概念和方法，在保持数学一般理论叙述严谨性的同时，也充分体现其自然科学的源泉和应用， 可供较为优秀学生选读。7. 《数学分析学习指导书》吴良森、毛羽辉、韩士安、吴畏 编著，高等教育出版社。 8. 《数学分析解题精粹》钱吉林 等主编，崇文书局。《数学分析解题精讲》徐新亚 主编，同济大学出版社。
常见问题
学习过程中需要注意的问题：
1、《数学分析》课程抽象度高，逻辑性强，对初学者来说有一定难度，所以学习过程中要仔细体会视频中的讲解，可以通过必要的记录，调整视频播放速度等方式促进对教学内容的理解。注意在观看视频时，有多种播放速度可供选择，可选择适合你自己的播放速度。
2、大学学习不同于中学的学习，要特别注意学习的连贯性、逻辑推理的严密性，关注定理的证明过程，例题的解题方法，学会逻辑推理，用准确、精炼的的数学语言呈现证明过程。
