spContent=本课程是作为非计算数学专业，物理、天文等理工科专业必修课开设的，通过课程学习，希望学生掌握数值分析的基本方法，能够进行基本数学模型的建立，用计算机进行数值模拟、数值积分和方程求解；培养数值处理问题的能力。本课程获得了北京师范大学精品课程、北京市高等教育教学名师奖。
本课程是作为非计算数学专业，物理、天文等理工科专业必修课开设的，通过课程学习，希望学生掌握数值分析的基本方法，能够进行基本数学模型的建立，用计算机进行数值模拟、数值积分和方程求解；培养数值处理问题的能力。本课程获得了北京师范大学精品课程、北京市高等教育教学名师奖。
—— 课程团队
课程概述
计算方法是以计算机及其技术为工具，研究各种数学问题在计算机上的数值解法及其理论的一门科学。通过课程学习，使学生掌握数值分析的基本方法，包括误差的理论分析、数值方法的稳定性问题、算法的实现等；能够进行基本数学模型的建立，用计算机进行数值模拟、数值积分和方程求解；培养数值处理问题的能力。
成绩 要求
期末考试成绩占总成绩的60%，平时成绩占总成绩的40%
课程大纲
绪论
课时目标：教学要求：了解本课的基本内容和基本要求
1.0 计算方法开篇
1.1 浮点数
1.2 从计算量的大小看算法的重要性
1.3 一个不稳定的算法的例子
误差
课时目标：教学要求：建立误差和误差传播的概念，了解方法稳定性问题重点：误差和有效数字的概念、计算
2.1 误差及其来源
2.2 有效数字
2.3 数值运算的误差估计
2.4 近似计算中需注意的问题
插值法与数值微分
课时目标：教学要求：掌握插值方法及其误差估计的理论重点：Lagrange插值，Hermit插值，样条插值
3.1 多项式插值函数的存在唯一性
3.2 Lagrange插值多项式的构造
3.3 多项式插值的余项定理
3.4 Heimite插值及其误差
3.5 龙格现象和切比雪夫节点
3.6 分段插值
3.7 样条插值
3.8 追赶法解三对角方程
3.9 数值微分
数据拟合
课时目标：教学要求：掌握最小二乘原理，学会基本数据拟合方法重点：目标函数、正规方程、多项式的拟合
4.1 数据拟合的最小二乘原理
4.2 多变量的线性拟合
4.3 几类特殊的非线性曲线的数据拟合
4.4 基于正交多项式的数据拟合
数值积分
课时目标：教学要求：掌握数值积分及其误差估计重点：Newton-Cotes求积，逐次分半求积，Romberg加速收敛、代数精度、高斯求积方法
5.1 插值型求积公式
5.2 梯形求积公式的误差估计与代数精度概念
5.3 抛物型求积公式的误差
5.4 复化求积公式及其误差
5.5 龙贝格算法
5.6 高斯型求积公式及其误差
5.7 高斯节点的充要条件
5.8 正交多项式的一般性质
5.9 Legengre 多项式
5.10 Gauss-Legendre 求积系数
解线性方程组的直接法
课时目标：教学要求：掌握各种三角分解方法、用列主元素方法编程重点：列主元素法、LU分解
6.1 三角方程的回代及主元素法
6.2 高斯消去法及其计算量
6.3 矩阵的LU分解
6.4 有关LU分解的定理
6.5 对称正定矩阵的分解
6.6 平方根法
6.7 改进的平方根方法
解线性方程组的迭代法
课时目标：教学要求：掌握范数概念、判敛定理，迭代求解方法重点：矩阵范数概念，主对角占优矩阵的判敛法，G-S迭代求解方法
7.1 向量范数
7.2 Minkovwski不等式
7.3 向量范数的等价与收敛
7.4 矩阵范数
7.5 算子范数
7.6 算子范数的性质
7.7 线性方程组的条件数及误差分析
7.8 常用迭代形式
7.9 线性方程组迭代收敛的条件
7.10 特殊判敛法
非线性方程和方程组的解法
课时目标：教学要求：掌握一维方程求根的方法，了解方程组求根的方法重点：牛顿迭代法、迭代法的收敛性
8.1 方程求根的二分法和迭代法
8.2 方程求根的迭代收敛的条件
8.3 迭代收敛的加速
8.4 牛顿法与收敛阶
8.5 最速下降法
常微分方程初值问题的数值解法
课时目标：教学要求：掌握一维常微分方程的数值解法和稳定性分析方法，了解高维常微分方程组求解方法。重点：Euler方法、Runge-Kutta方法、Adams方法、刚性方程
9.1 Euler方法
9.2 Euler方法的误差估计和绝对稳定区域
9.3 Runge-Kutta方法
9.4 R-K方法的稳定区域及变步长的R-K方法
9.5 线性多步法
9.6 改进的线性多步法
9.7 一阶常微分方程组和高阶微分方程的数值解法
特征根的计算
课时目标：教学要求：掌握特征根的计算方法。重点：幂法、QR算法
10.1 幂法
10.2 幂法2
10.3 反幂法和幂法的加速
10.4 Jacobi方法求实对称阵的特征值和特征向量
10.5 Jacobi算法的计算实例
10.6 Householder变换及矩阵的QR分解
10.7 矩阵的QR分解实例
10.8 QR算法
10.9 上Hessenberg矩阵的单步QR算法
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参考资料
浙公网安备 33010802012594号
